Номер 771, страница 150 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота стакана, $h = 8,0$ см
Радиус основания стакана, $R = 3,0$ см
Длина палочки, $l = 12,0$ см
Масса палочки, $m = 40$ г
Плотность материала палочки, $\rho_2 = 2,0$ г/см³
Стакан заполнен водой, плотность воды $\rho_1 = 1,0$ г/см³

Перевод в систему СИ:
$h = 0,080$ м
$R = 0,030$ м
$l = 0,120$ м
$m = 0,040$ кг
$\rho_2 = 2000$ кг/м³
$\rho_1 = 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Модуль силы давления палочки на край стакана, $N_2$.

Решение:

Палочка находится в равновесии, опираясь одним концом на край дна стакана (точка А), а другой своей частью — на противоположный край горлышка стакана (точка В). По третьему закону Ньютона, сила давления палочки на край стакана равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры $N_2$, действующей со стороны края стакана на палочку. Так как стакан гладкий, сила реакции опоры $N_2$ направлена перпендикулярно стенке стакана, то есть горизонтально.

Рассмотрим условие равновесия палочки. На нее действуют следующие силы: сила тяжести $mg$, выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, сила реакции опоры со стороны дна и стенки в точке А, и сила реакции опоры со стороны края стакана $N_2$ в точке В.

Для нахождения силы $N_2$ воспользуемся правилом моментов. Запишем уравнение моментов сил относительно точки А, чтобы исключить неизвестную силу реакции опоры в этой точке. Условие равновесия: сумма моментов сил, вращающих палочку по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих ее против часовой стрелки.

Сначала определим геометрические параметры. Пусть палочка составляет угол $\alpha$ с горизонтальным дном стакана. Длина погруженной в воду части палочки $l_{sub}$ равна расстоянию от точки А до точки В. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой стакана $h$ и его диаметром $2R$, находим $l_{sub}$:

$l_{sub} = \sqrt{h^2 + (2R)^2} = \sqrt{(0,080 \text{ м})^2 + (2 \cdot 0,030 \text{ м})^2} = \sqrt{0,0064 + 0,0036} = \sqrt{0,01} = 0,100$ м.

Косинус угла наклона палочки:

$\cos\alpha = \frac{2R}{l_{sub}} = \frac{0,060 \text{ м}}{0,100 \text{ м}} = 0,6$.

Теперь рассмотрим моменты сил относительно точки А:

1. Момент силы тяжести $M_g$. Сила $mg$ приложена к центру масс палочки (на расстоянии $l/2$ от конца А) и направлена вертикально вниз. Ее плечо равно $d_g = \frac{l}{2}\cos\alpha$. Момент вращает палочку по часовой стрелке: $M_g = mg \frac{l}{2}\cos\alpha$.

2. Момент выталкивающей силы $M_A$. Сила $F_A$ приложена к центру масс погруженной части палочки (на расстоянии $l_{sub}/2$ от конца А) и направлена вертикально вверх. Ее плечо равно $d_A = \frac{l_{sub}}{2}\cos\alpha$. Момент вращает палочку против часовой стрелки: $M_A = F_A \frac{l_{sub}}{2}\cos\alpha$.

3. Момент силы реакции опоры $M_{N2}$. Сила $N_2$ приложена в точке В и направлена горизонтально. Ее плечо равно вертикальному расстоянию от точки А до точки В, то есть высоте стакана $h$. Момент вращает палочку против часовой стрелки: $M_{N2} = N_2 h$.

Уравнение моментов:

$M_A + M_{N2} = M_g$

$F_A \frac{l_{sub}}{2}\cos\alpha + N_2 h = mg \frac{l}{2}\cos\alpha$

Выразим отсюда искомую силу $N_2$:

$N_2 h = (mg l - F_A l_{sub}) \frac{\cos\alpha}{2}$

$N_2 = \frac{\cos\alpha}{2h}(mg l - F_A l_{sub})$

Рассчитаем величины, входящие в формулу:

Сила тяжести: $mg = 0,040 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 0,392$ Н.

Объем палочки: $V = \frac{m}{\rho_2} = \frac{0,040 \text{ кг}}{2000 \text{ кг/м}^3} = 2,0 \times 10^{-5}$ м³.

Объем погруженной части палочки (палочка однородна):

$V_{sub} = V \frac{l_{sub}}{l} = (2,0 \times 10^{-5} \text{ м}^3) \cdot \frac{0,100 \text{ м}}{0,120 \text{ м}} = \frac{5}{3} \times 10^{-5}$ м³.

Выталкивающая сила:

$F_A = \rho_1 g V_{sub} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (\frac{5}{3} \times 10^{-5} \text{ м}^3) = \frac{0,49}{3} \text{ Н} \approx 0,163$ Н.

Подставим все значения в формулу для $N_2$:

$N_2 = \frac{0,6}{2 \cdot 0,080 \text{ м}} \left( 0,392 \text{ Н} \cdot 0,120 \text{ м} - \frac{0,49}{3} \text{ Н} \cdot 0,100 \text{ м} \right)$

$N_2 = 3,75 \frac{1}{\text{м}} \left( 0,04704 \text{ Н} \cdot \text{м} - 0,01633... \text{ Н} \cdot \text{м} \right)$

$N_2 = 3,75 \cdot 0,030706... \text{ Н} \approx 0,11515$ Н.

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с данными задачи, получаем:

$N_2 \approx 0,12$ Н.

Ответ: $0,12$ Н.