Номер 759, страница 148 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$H = 20$ см

$h = 15$ см

Плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

$H = 0.2$ м

$h = 0.15$ м

Найти:

$\rho_ж$ - плотность добавленной жидкости

Решение:

Рассмотрим два состояния системы.

1. Начальное состояние: цилиндр плавает в воде.На него действуют сила тяжести $F_g$ (направлена вниз) и выталкивающая сила (сила Архимеда) со стороны воды $F_{А1}$ (направлена вверх).Поскольку цилиндр плавает, эти силы уравновешены: $F_g = F_{А1}$.Пусть $S$ – площадь основания цилиндра, а $h_1$ – высота его погруженной в воду части. Тогда сила Архимеда равна:$F_{А1} = \rho_в g S h_1$, где $\rho_в$ – плотность воды, $g$ – ускорение свободного падения.Следовательно, сила тяжести, действующая на цилиндр, равна $F_g = \rho_в g S h_1$.

2. Конечное состояние: поверх воды налит слой другой жидкости плотностью $\rho_ж$ и толщиной $H$.Цилиндр по-прежнему плавает, а значит, сила тяжести $F_g$ уравновешена суммарной выталкивающей силой $F_{А2}$. Эта сила складывается из выталкивающей силы со стороны воды $F_{А,в}$ и выталкивающей силы со стороны добавленной жидкости $F_{А,ж}$:$F_g = F_{А2} = F_{А,в} + F_{А,ж}$.

По условию, часть цилиндра высотой $h$ вышла из воды. Это означает, что новая высота погружения в воду стала $h_2 = h_1 - h$. Тогда новая выталкивающая сила со стороны воды равна:$F_{А,в} = \rho_в g S h_2 = \rho_в g S (h_1 - h)$.

Добавленная жидкость образует над водой слой толщиной $H$. Так как верхняя часть цилиндра осталась в воздухе, цилиндр проходит через весь слой этой жидкости. Следовательно, высота части цилиндра, погруженной в эту жидкость, равна толщине её слоя, то есть $H$. Выталкивающая сила со стороны этой жидкости равна:$F_{А,ж} = \rho_ж g S H$.

Так как сила тяжести цилиндра не изменилась, мы можем приравнять выражения для $F_g$ из начального и конечного состояний:$F_{А1} = F_{А2}$$\rho_в g S h_1 = \rho_в g S (h_1 - h) + \rho_ж g S H$.

Сократим обе части уравнения на $gS$:$\rho_в h_1 = \rho_в (h_1 - h) + \rho_ж H$$\rho_в h_1 = \rho_в h_1 - \rho_в h + \rho_ж H$.

Вычтем из обеих частей $\rho_в h_1$:$0 = - \rho_в h + \rho_ж H$.

Отсюда следует:$\rho_ж H = \rho_в h$.

Выразим искомую плотность $\rho_ж$:$\rho_ж = \rho_в \frac{h}{H}$.

Подставим числовые значения:$\rho_ж = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{0.15 \text{ м}}{0.20 \text{ м}} = 1000 \cdot 0.75 = 750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Ответ: плотность добавленной жидкости равна $750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.