Номер 754, страница 147 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$V = 11,0 \text{ дм}^3$
$V_{погр, рт, 1} = \frac{1}{4}V$ (начальный объем, погруженный в ртуть)
$V_{1} = 2,0 \text{ дм}^3$ (конечный объем, погруженный в ртуть)

$V = 11,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,011 \text{ м}^3$
$V_{1} = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,002 \text{ м}^3$

Найти:

$\frac{\rho_{рт}}{\rho_{ж}}$ - ?

Решение:

Рассмотрим два случая равновесия цилиндра.

1. Цилиндр плавает в ртути. На него действуют сила тяжести $F_g$ и выталкивающая сила Архимеда со стороны ртути $F_{А1}$.
Условие равновесия: $F_g = F_{А1}$.
Сила тяжести: $F_g = m_{ц}g = \rho_{ц}Vg$, где $\rho_{ц}$ - плотность цилиндра, $V$ - его объем, $g$ - ускорение свободного падения.
Выталкивающая сила: $F_{А1} = \rho_{рт}gV_{погр, рт, 1}$, где $\rho_{рт}$ - плотность ртути, $V_{погр, рт, 1}$ - объем погруженной части цилиндра. По условию, $V_{погр, рт, 1} = \frac{1}{4}V$.
Тогда уравнение равновесия примет вид: $\rho_{ц}Vg = \rho_{рт}g\frac{V}{4}$
Сократив $Vg$, получим связь между плотностью цилиндра и плотностью ртути: $\rho_{ц} = \frac{\rho_{рт}}{4}$ (1)

2. Поверх ртути налили жидкость, и цилиндр оказался полностью погруженным. Теперь он плавает на границе двух жидкостей. На него по-прежнему действует сила тяжести $F_g$ и две выталкивающие силы: $F_{А2}$ со стороны ртути и $F_{Аж}$ со стороны добавленной жидкости.
Условие равновесия: $F_g = F_{А2} + F_{Аж}$.
Выталкивающая сила со стороны ртути: $F_{А2} = \rho_{рт}gV_1$, где $V_1$ - новый объем, погруженный в ртуть.
Так как цилиндр погружен полностью, объем его части, находящейся в добавленной жидкости, равен $V_ж = V - V_1$.
Выталкивающая сила со стороны жидкости: $F_{Аж} = \rho_{ж}gV_ж = \rho_{ж}g(V - V_1)$, где $\rho_{ж}$ - плотность жидкости.
Уравнение равновесия: $\rho_{ц}Vg = \rho_{рт}gV_1 + \rho_{ж}g(V - V_1)$
Сократив $g$, получим: $\rho_{ц}V = \rho_{рт}V_1 + \rho_{ж}(V - V_1)$ (2)

Теперь подставим выражение для $\rho_{ц}$ из уравнения (1) в уравнение (2): $\frac{\rho_{рт}}{4}V = \rho_{рт}V_1 + \rho_{ж}(V - V_1)$
Наша цель - найти отношение $\frac{\rho_{рт}}{\rho_{ж}}$. Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить это отношение. $\frac{\rho_{рт}V}{4} - \rho_{рт}V_1 = \rho_{ж}(V - V_1)$
$\rho_{рт}(\frac{V}{4} - V_1) = \rho_{ж}(V - V_1)$
$\frac{\rho_{рт}}{\rho_{ж}} = \frac{V - V_1}{\frac{V}{4} - V_1}$

Подставим числовые значения. Можно использовать объемы в дм³, так как их единицы измерения сократятся.
$V = 11,0 \text{ дм}^3$
$V_1 = 2,0 \text{ дм}^3$
$\frac{V}{4} = \frac{11,0}{4} = 2,75 \text{ дм}^3$
$\frac{\rho_{рт}}{\rho_{ж}} = \frac{11,0 - 2,0}{2,75 - 2,0} = \frac{9,0}{0,75}$
$\frac{9,0}{0,75} = \frac{9}{3/4} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$

Ответ: плотность ртути больше плотности жидкости в 12 раз.