Номер 887, страница 172 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Плотность материала кубика: $\rho$

Плотность жидкости: $\rho_0$

Длина ребра кубика: $a$

Условие плавания: $\rho_0 > \rho$

Найти:

a) $A_a$ — минимальную работу, чтобы полностью утопить кубик.

б) $A_b$ — минимальную работу, чтобы полностью вытащить кубик из жидкости.

Решение:

Сначала определим начальное положение кубика в состоянии равновесия. Когда кубик плавает, сила тяжести, действующая на него, уравновешивается выталкивающей силой Архимеда.

Сила тяжести: $F_g = mg = V \rho g = a^3 \rho g$, где $V = a^3$ - объем кубика, $g$ - ускорение свободного падения.

Сила Архимеда: $F_A = \rho_0 g V_{sub}$, где $V_{sub}$ - объем погруженной части кубика.

Пусть $h$ - глубина погружения кубика. Тогда объем погруженной части $V_{sub} = a^2 h$.

Из условия равновесия $F_g = F_A$ имеем:

$a^3 \rho g = a^2 h \rho_0 g$

Отсюда находим начальную глубину погружения:

$h = a \frac{\rho}{\rho_0}$

Минимальная работа совершается при медленном (квазистатическом) перемещении кубика, когда его кинетическая энергия не изменяется. В этом случае работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии системы. Эту работу можно рассчитать как интеграл от внешней силы по перемещению.

а) полностью утопить кубик

Чтобы полностью утопить кубик, его нужно погрузить в жидкость еще на расстояние $\Delta y_a = a - h$.

Рассмотрим положение кубика, когда он дополнительно погружен на глубину $y$ ($0 \le y \le a-h$) относительно положения равновесия. Общая глубина погружения в этом случае составит $h' = h+y$.

Сила Архимеда, действующая на кубик: $F'_A = \rho_0 g V'_{sub} = \rho_0 g a^2 (h+y)$.

Сила тяжести остается неизменной: $F_g = a^3 \rho g$.

Для удержания кубика в этом положении необходимо приложить внешнюю силу $F_{ext}$, направленную вниз и равную по модулю разности силы Архимеда и силы тяжести:

$F_{ext}(y) = F'_A - F_g = \rho_0 g a^2 (h+y) - a^3 \rho g$

Так как изначальное условие равновесия $a^3 \rho g = a^2 h \rho_0 g$, то:

$F_{ext}(y) = \rho_0 g a^2 h + \rho_0 g a^2 y - \rho_0 g a^2 h = \rho_0 g a^2 y$

Внешняя сила линейно зависит от смещения $y$. Работа этой силы при перемещении кубика на расстояние $\Delta y_a = a - h$ равна:

$A_a = \int_0^{a-h} F_{ext}(y) dy = \int_0^{a-h} \rho_0 g a^2 y dy = \rho_0 g a^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{a-h} = \frac{1}{2} \rho_0 g a^2 (a-h)^2$

Подставим выражение для $h = a \frac{\rho}{\rho_0}$:

$a-h = a - a \frac{\rho}{\rho_0} = a \left( 1 - \frac{\rho}{\rho_0} \right) = a \frac{\rho_0 - \rho}{\rho_0}$

Тогда работа равна:

$A_a = \frac{1}{2} \rho_0 g a^2 \left( a \frac{\rho_0 - \rho}{\rho_0} \right)^2 = \frac{1}{2} \rho_0 g a^2 \frac{a^2 (\rho_0 - \rho)^2}{\rho_0^2} = \frac{g a^4 (\rho_0 - \rho)^2}{2 \rho_0}$

Ответ: $A_a = \frac{g a^4 (\rho_0 - \rho)^2}{2 \rho_0}$.

б) полностью вытащить его из жидкости

Чтобы полностью вытащить кубик, его нужно поднять из положения равновесия на высоту $h$.

Рассмотрим положение кубика, когда он поднят на высоту $y$ ($0 \le y \le h$) относительно положения равновесия. Глубина погружения в этом случае составит $h'' = h-y$.

Сила Архимеда, действующая на кубик: $F''_A = \rho_0 g V''_{sub} = \rho_0 g a^2 (h-y)$.

Для удержания кубика в этом положении необходимо приложить внешнюю силу $F_{ext}$, направленную вверх и равную по модулю разности силы тяжести и силы Архимеда:

$F_{ext}(y) = F_g - F''_A = a^3 \rho g - \rho_0 g a^2 (h-y)$

Используя условие равновесия $a^3 \rho g = a^2 h \rho_0 g$, получаем:

$F_{ext}(y) = \rho_0 g a^2 h - (\rho_0 g a^2 h - \rho_0 g a^2 y) = \rho_0 g a^2 y$

Внешняя сила также линейно зависит от смещения $y$. Работа этой силы при перемещении кубика на высоту $h$ равна:

$A_b = \int_0^{h} F_{ext}(y) dy = \int_0^{h} \rho_0 g a^2 y dy = \rho_0 g a^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{h} = \frac{1}{2} \rho_0 g a^2 h^2$

Подставим выражение для $h = a \frac{\rho}{\rho_0}$:

$A_b = \frac{1}{2} \rho_0 g a^2 \left( a \frac{\rho}{\rho_0} \right)^2 = \frac{1}{2} \rho_0 g a^2 \frac{a^2 \rho^2}{\rho_0^2} = \frac{g a^4 \rho^2}{2 \rho_0}$

Ответ: $A_b = \frac{g a^4 \rho^2}{2 \rho_0}$.