Номер 890, страница 172 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина трубки $l = 15$ см

Длина пробки $l_0 = 5$ см

Масса пробки $m \approx 0$

Перемещение равномерное

$l = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$l_0 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Отношение работы при выталкивании пробки через нижнее отверстие к работе при выталкивании через верхнее: $\frac{A_{низ}}{A_{верх}}$

Решение:

По условию, перемещение пробки является равномерным, а ее массой можно пренебречь. Это означает, что прикладываемая для выталкивания сила $F_{пр}$ в любой момент времени равна по модулю силе трения скольжения $F_{тр}$.

Сила трения скольжения $F_{тр}$ пропорциональна длине части пробки, которая находится в контакте со стенками трубки. Обозначим силу трения, приходящуюся на единицу длины пробки, как $f_{уд}$. Тогда, если внутри трубки находится часть пробки длиной $x$, сила трения будет равна $F_{тр} = f_{уд} \cdot x$.

Работа переменной силы вычисляется как $A = \int F(s) ds$, где $s$ — перемещение.

1. Работа при выталкивании пробки через верхнее отверстие ($A_{верх}$).

В начальном положении вся пробка длиной $l_0$ находится в трубке. Пусть пробка перемещается вверх на расстояние $y$. Тогда длина части пробки, остающейся в трубке, равна $l_0 - y$. Сила, которую нужно приложить, зависит от перемещения $y$ как $F_{пр}(y) = f_{уд} (l_0 - y)$. Пробка полностью выйдет из трубки, когда переместится на расстояние $y = l_0$. Работа $A_{верх}$ равна:

$A_{верх} = \int_{0}^{l_0} f_{уд} (l_0 - y) dy = f_{уд} \left[ l_0 y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{l_0} = f_{уд} \left( l_0^2 - \frac{l_0^2}{2} \right) = \frac{1}{2} f_{уд} l_0^2$.

2. Работа при выталкивании пробки через нижнее отверстие ($A_{низ}$).

Процесс выталкивания через низ можно разделить на два этапа.

На первом этапе пробка движется вниз от начального положения до момента, когда её верхний край достигает нижнего края трубки. На всем этом этапе вся пробка целиком (длиной $l_0$) находится внутри трубки, поэтому сила трения постоянна и максимальна: $F_{тр1} = f_{уд} l_0$. Пробка проходит путь $s_1 = l - l_0$. Работа на этом этапе составляет: $A_{низ1} = F_{тр1} \cdot s_1 = f_{уд} l_0 (l - l_0)$.

На втором этапе пробка начинает выходить из нижнего отверстия. Этот этап полностью аналогичен процессу выталкивания через верхнее отверстие: длина выталкиваемой части — $l_0$, и сила трения линейно уменьшается с $f_{уд} l_0$ до 0. Следовательно, работа на втором этапе $A_{низ2}$ равна работе $A_{верх}$: $A_{низ2} = \frac{1}{2} f_{уд} l_0^2$.

Полная работа $A_{низ}$ равна сумме работ на двух этапах:

$A_{низ} = A_{низ1} + A_{низ2} = f_{уд} l_0 (l - l_0) + \frac{1}{2} f_{уд} l_0^2 = f_{уд} \left( l l_0 - l_0^2 + \frac{l_0^2}{2} \right) = f_{уд} \left( l l_0 - \frac{l_0^2}{2} \right)$.

3. Нахождение отношения работ.

Теперь найдем искомое отношение работ. Коэффициент $f_{уд}$ сократится.

$\frac{A_{низ}}{A_{верх}} = \frac{f_{уд} (l l_0 - \frac{1}{2} l_0^2)}{\frac{1}{2} f_{уд} l_0^2} = \frac{l l_0 - \frac{1}{2} l_0^2}{\frac{1}{2} l_0^2} = \frac{2(l l_0 - \frac{1}{2} l_0^2)}{l_0^2} = \frac{2 l l_0 - l_0^2}{l_0^2} = \frac{2l}{l_0} - 1$.

Подставим числовые значения $l = 15$ см и $l_0 = 5$ см. Так как мы ищем отношение, можно не переводить величины в СИ, поскольку единицы измерения сократятся.

$\frac{A_{низ}}{A_{верх}} = \frac{2 \cdot 15}{5} - 1 = \frac{30}{5} - 1 = 6 - 1 = 5$.

Ответ: чтобы вытолкнуть пробку через нижнее отверстие, нужно совершить работу в 5 раз большую, чем через верхнее.