Номер 884, страница 171 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Графики зависимости проекции силы $F_x$ от координаты $x$ (рис. 165, а, б, в).

Начальная координата $x_1 = 0$ см.

Конечная координата $x_2 = 8$ см.

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 0$ м.

$x_2 = 8 \text{ см} = 0.08$ м.

Найти:

Работу силы $A$ для каждого случая: $A_a$, $A_б$, $A_в$.

Решение:

Работа переменной силы на некотором участке пути численно равна площади фигуры под графиком зависимости проекции силы от координаты на этом участке. Если график находится под осью абсцисс (сила направлена против оси $Ox$), работа считается отрицательной.

Формула для вычисления работы: $A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) \,dx$. Геометрически это площадь под графиком $F_x(x)$.

а

В первом случае (рис. 165, а) график представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Фигура под графиком на участке от $x_1 = 0$ до $x_2 = 8$ см является прямоугольным треугольником.

Основание треугольника равно перемещению $\Delta x = x_2 - x_1 = 8 \text{ см} = 0.08$ м.

Высота треугольника равна максимальному значению силы $F_{x,max} = 4$ Н (из графика при $x=8$ см).

Работа $A_a$ равна площади этого треугольника:

$A_a = S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot \Delta x \cdot F_{x,max}$

$A_a = \frac{1}{2} \cdot 0.08 \text{ м} \cdot 4 \text{ Н} = 0.16$ Дж.

Ответ: $A_a = 0.16$ Дж.

б

Во втором случае (рис. 165, б) фигуру под графиком на участке от $x_1 = 0$ до $x_2 = 8$ см можно разбить на две более простые фигуры: прямоугольник (на участке от 0 до 4 см) и трапецию (на участке от 4 см до 8 см).

1. Работа на участке от $x=0$ до $x=4$ см ($0.04$ м) равна площади прямоугольника $A_1$:

Основание $\Delta x_1 = 4 \text{ см} = 0.04$ м.

Высота $F_x = 1$ Н.

$A_1 = \Delta x_1 \cdot F_x = 0.04 \text{ м} \cdot 1 \text{ Н} = 0.04$ Дж.

2. Работа на участке от $x=4$ см до $x=8$ см равна площади трапеции $A_2$:

Высота трапеции (перемещение) $\Delta x_2 = 8 \text{ см} - 4 \text{ см} = 4 \text{ см} = 0.04$ м.

Основания трапеции (значения силы) $F_{x1} = 1$ Н (при $x=4$ см) и $F_{x2} = 2$ Н (при $x=8$ см).

$A_2 = \frac{F_{x1} + F_{x2}}{2} \cdot \Delta x_2 = \frac{1 \text{ Н} + 2 \text{ Н}}{2} \cdot 0.04 \text{ м} = \frac{3}{2} \cdot 0.04 \text{ Дж} = 1.5 \cdot 0.04 \text{ Дж} = 0.06$ Дж.

Общая работа $A_б$ равна сумме работ на участках:

$A_б = A_1 + A_2 = 0.04 \text{ Дж} + 0.06 \text{ Дж} = 0.10$ Дж.

Ответ: $A_б = 0.10$ Дж.

в

В третьем случае (рис. 165, в) график состоит из участков, где сила положительна и отрицательна. Работа будет равна алгебраической сумме площадей соответствующих фигур.

1. Положительная работа $A_{пол}$ совершается на участке от $x=0$ до $x=5$ см. Площадь под графиком на этом участке можно найти как площадь трапеции с основаниями $a = 4 \text{ см} - 1 \text{ см} = 3 \text{ см} = 0.03$ м и $b = 5 \text{ см} - 0 \text{ см} = 5 \text{ см} = 0.05$ м, и высотой $h = 3$ Н.

$A_{пол} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{0.03 \text{ м} + 0.05 \text{ м}}{2} \cdot 3 \text{ Н} = \frac{0.08}{2} \cdot 3 \text{ Дж} = 0.04 \cdot 3 \text{ Дж} = 0.12$ Дж.

2. Отрицательная работа $A_{отр}$ совершается на участке от $x=5$ см до $x=8$ см. Эту площадь можно разбить на площадь треугольника (от 5 до 6 см) и прямоугольника (от 6 до 8 см).

Работа на участке 5-6 см (треугольник): $A_1 = \frac{1}{2} \cdot (6 \text{ см} - 5 \text{ см}) \cdot (-3 \text{ Н}) = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \text{ м} \cdot (-3 \text{ Н}) = -0.015$ Дж.

Работа на участке 6-8 см (прямоугольник): $A_2 = (8 \text{ см} - 6 \text{ см}) \cdot (-3 \text{ Н}) = 0.02 \text{ м} \cdot (-3 \text{ Н}) = -0.06$ Дж.

Суммарная отрицательная работа $A_{отр} = A_1 + A_2 = -0.015 \text{ Дж} - 0.06 \text{ Дж} = -0.075$ Дж.

Общая работа $A_в$ равна сумме положительной и отрицательной работ:

$A_в = A_{пол} + A_{отр} = 0.12 \text{ Дж} - 0.075 \text{ Дж} = 0.045$ Дж.

Ответ: $A_в = 0.045$ Дж.