Номер 886, страница 172 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса бочки $m = 200$ кг
Диаметр бочки $d = 70$ см
Плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения $g = 9.8$ м/с²

$d = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

Найти:

Минимальную работу $A_{min}$

Решение:

Когда цилиндрическая бочка плавает в воде, действующая на нее сила тяжести $F_т = mg$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

$mg = F_A$

Сила Архимеда определяется как $F_A = \rho_в g V_{погр}$, где $\rho_в$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{погр}$ — объем погруженной части бочки.

Объем погруженной части бочки можно выразить через ее площадь поперечного сечения $S$ и глубину погружения $h_0$: $V_{погр} = S \cdot h_0$. Площадь сечения (круга) равна $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Из условия плавания найдем начальную глубину погружения $h_0$:$mg = \rho_в g S h_0 \implies h_0 = \frac{m}{\rho_в S} = \frac{m}{\rho_в \frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4m}{\rho_в \pi d^2}$.

Чтобы вынуть бочку из воды, необходимо совершить работу по ее подъему на высоту $h_0$. При подъеме на бочку действует переменная сила. Внешняя сила $F_{внеш}$, необходимая для медленного подъема бочки, в любой момент времени компенсирует разность между силой тяжести и уменьшающейся силой Архимеда. Если $y$ — высота, на которую подняли бочку от начального положения ($0 \le y \le h_0$), то глубина погружения становится равной $h_0 - y$.

Приложенная сила $F_{внеш}(y) = mg - F_A(y) = mg - \rho_в g S (h_0 - y)$.

Так как из начального условия $mg = \rho_в g S h_0$, то:$F_{внеш}(y) = \rho_в g S h_0 - \rho_в g S (h_0 - y) = \rho_в g S y$.

Сила изменяется линейно от $0$ (в начале) до $mg$ (в конце подъема). Минимальная работа $A_{min}$ равна работе этой переменной силы на пути $h_0$. Работу можно найти, вычислив интеграл:$A_{min} = \int_0^{h_0} F_{внеш}(y) dy = \int_0^{h_0} \rho_в g S y \, dy = \rho_в g S \frac{h_0^2}{2}$.

Подставив в это выражение $mg = \rho_в g S h_0$, получим простую формулу для работы:$A_{min} = \frac{1}{2} ( \rho_в g S h_0 ) h_0 = \frac{1}{2} m g h_0$.

Теперь проведем вычисления. Сначала найдем $h_0$:$h_0 = \frac{4 \cdot 200 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot \pi \cdot (0.7 \text{ м})^2} = \frac{800}{1000 \cdot \pi \cdot 0.49} = \frac{800}{490\pi} = \frac{80}{49\pi} \text{ м}$.

Вычислим работу:$A_{min} = \frac{1}{2} \cdot 200 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{80}{49\pi} \text{ м} = 980 \cdot \frac{80}{49\pi} \text{ Дж}$.

Учитывая, что $980 = 20 \cdot 49$:$A_{min} = \frac{20 \cdot 49 \cdot 80}{49\pi} = \frac{1600}{\pi} \text{ Дж}$.

Окончательный численный результат:$A_{min} = \frac{1600}{\pi} \approx 509.3 \text{ Дж}$.

Ответ: минимальная работа, которую нужно совершить, чтобы вынуть бочку из воды, составляет приблизительно $509.3$ Дж.