Номер 907, страница 175 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Сила тяги, $F = 10 \text{ Н}$
Зависимость проекции скорости от времени, $v_x = A + Bt$
Коэффициент $A = 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Коэффициент $B = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Перемещение, $\Delta r = 1,5 \text{ м}$
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Среднюю мощность силы тяги, $\langle P \rangle$.

Решение:

Средняя мощность $\langle P \rangle$ определяется как отношение работы $W$, совершенной силой, ко времени $\Delta t$, за которое эта работа была совершена:

$\langle P \rangle = \frac{W}{\Delta t}$

Сила тяги $F$ постоянна и направлена вдоль оси $Ox$, совпадающей с направлением движения. Работа этой силы при перемещении тела на расстояние $\Delta r$ вычисляется по формуле:

$W = F \cdot \Delta r$

Подставим числовые значения:

$W = 10 \text{ Н} \cdot 1,5 \text{ м} = 15 \text{ Дж}$

Для нахождения средней мощности необходимо определить промежуток времени $\Delta t$, в течение которого тело совершило перемещение $\Delta r$. Перемещение тела является интегралом от скорости по времени. Предположим, что движение начинается в момент времени $t_0 = 0$. Тогда перемещение за время $\Delta t$ равно:

$\Delta r = \int_{0}^{\Delta t} v_x(t) dt = \int_{0}^{\Delta t} (A + Bt) dt$

Вычислим этот интеграл:

$\Delta r = \left[ At + \frac{B}{2}t^2 \right]_{0}^{\Delta t} = A\Delta t + \frac{B}{2}(\Delta t)^2$

Подставим известные значения в полученное уравнение:

$1,5 = 4,0 \cdot \Delta t + \frac{3,0}{2}(\Delta t)^2$

$1,5 = 4,0 \Delta t + 1,5 (\Delta t)^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $\Delta t$:

$1,5(\Delta t)^2 + 4,0\Delta t - 1,5 = 0$

Для удобства решения умножим все члены уравнения на 2:

$3(\Delta t)^2 + 8\Delta t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения:

$\Delta t = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$

Получаем два значения для времени:

$\Delta t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3 \text{ с}$

$\Delta t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ с}$

Так как время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только второй корень: $\Delta t = \frac{1}{3} \text{ с}$.

Теперь мы можем вычислить среднюю мощность силы тяги:

$\langle P \rangle = \frac{W}{\Delta t} = \frac{15 \text{ Дж}}{\frac{1}{3} \text{ с}} = 15 \cdot 3 \text{ Вт} = 45 \text{ Вт}$

Ответ: средняя мощность силы тяги равна $45 \text{ Вт}$.