Номер 913, страница 176 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость равномерного движения в гору: $v_1$

Скорость равномерного движения под гору: $v_2$

Угол наклона горы к горизонту: $\alpha$

Мощность двигателя: $P = \text{const}$

Коэффициент трения: $\mu = \text{const}$

Найти:

Модуль скорости равномерного движения по горизонтальному участку: $v_3$

Решение:

По условию задачи, движение аэросаней на всех трех участках является равномерным. Это означает, что согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на них сил равна нулю. Мощность двигателя $P$ связана с силой тяги $F_т$ и скоростью движения $v$ соотношением $P = F_т \cdot v$. Так как мощность постоянна, сила тяги будет меняться в зависимости от скорости.

Рассмотрим каждый случай движения отдельно, записав уравнение сил в проекции на направление движения. Пусть $m$ — масса аэросаней, $g$ — ускорение свободного падения.

1. Движение в гору со скоростью $v_1$.

Сила тяги $F_{т1}$ направлена вверх по склону. Ей противодействуют сила трения $F_{тр1}$ и скатывающая составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$. Условие равновесия:

$F_{т1} = mg\sin\alpha + F_{тр1}$

Сила трения равна $F_{тр1} = \mu N_1$, где $N_1 = mg\cos\alpha$ — сила нормальной реакции опоры.Тогда сила тяги: $F_{т1} = mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$.

Мощность двигателя в этом случае: $P = F_{т1}v_1 = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)v_1$. (1)

2. Движение под гору со скоростью $v_2$.

Сила тяги $F_{т2}$ и скатывающая составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$ направлены вниз по склону. Им противодействует сила трения $F_{тр2}$, направленная вверх по склону. Условие равновесия:

$F_{т2} + mg\sin\alpha = F_{тр2}$

Сила трения $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg\cos\alpha$.Тогда сила тяги: $F_{т2} = \mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = mg(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)$.

Мощность двигателя в этом случае: $P = F_{т2}v_2 = mg(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)v_2$. (2)

3. Движение по горизонтальному участку со скоростью $v_3$.

Сила тяги $F_{т3}$ направлена вперед, ей противодействует только сила трения $F_{тр3}$. Условие равновесия:

$F_{т3} = F_{тр3}$

Сила трения $F_{тр3} = \mu N_3$, где $N_3 = mg$.Тогда сила тяги: $F_{т3} = \mu mg$.

Мощность двигателя в этом случае: $P = F_{т3}v_3 = \mu mg v_3$. (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений с неизвестными $m$, $\mu$ и $v_3$. Решим ее для нахождения $v_3$.

Из уравнений (1) и (2) выразим слагаемые, связанные с силами:

$\frac{P}{v_1} = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

$\frac{P}{v_2} = mg(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)$

Сложим эти два уравнения. При сложении слагаемые с $mg\sin\alpha$ взаимно уничтожатся:

$\frac{P}{v_1} + \frac{P}{v_2} = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) + mg(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)$

$P(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}) = 2mg\mu\cos\alpha$

$P\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2} = 2mg\mu\cos\alpha$

Из уравнения (3) для горизонтального движения мы знаем, что сила тяги $F_{т3} = \mu mg$. Также $P = F_{т3} v_3$, следовательно, $\mu mg = \frac{P}{v_3}$.

Подставим это выражение в полученное суммарное уравнение:

$P\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2} = 2\left(\frac{P}{v_3}\right)\cos\alpha$

Поскольку мощность двигателя $P$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $P$:

$\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2} = \frac{2\cos\alpha}{v_3}$

Отсюда выражаем искомую скорость $v_3$:

$v_3 = \frac{2v_1v_2\cos\alpha}{v_1 + v_2}$

Ответ: $v_3 = \frac{2v_1v_2\cos\alpha}{v_1 + v_2}$