Номер 912, страница 175 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 40$ кг
$v = 66 \frac{см}{с}$
$\alpha = 45^\circ$
$\mu = 0,10$

$v = 66 \frac{см}{с} = 0,66 \frac{м}{с}$

Найти:

$P$

Решение:

На санки, движущиеся по горизонтальной поверхности, действуют четыре силы:
1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, перпендикулярно поверхности.
3. Сила натяжения веревки $\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.
4. Сила трения скольжения $\vec{F_{тр}}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную движению.

Согласно условию задачи, санки движутся с постоянной скоростью ($v = \text{const}$), следовательно, их ускорение равно нулю ($\vec{a}=0$). По первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: $\vec{T} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F_{тр}} = 0$.

Для решения задачи введем систему координат: ось OX направим горизонтально по направлению движения санок, а ось OY — вертикально вверх. Запишем уравнения движения в проекциях на эти оси:
На ось OX: $T_x - F_{тр} = 0 \implies T \cos(\alpha) - F_{тр} = 0$
На ось OY: $N + T_y - F_g = 0 \implies N + T \sin(\alpha) - mg = 0$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением: $F_{тр} = \mu N$.

Из уравнения для оси OY выразим силу нормальной реакции опоры $N$: $N = mg - T \sin(\alpha)$.
Заметим, что сила нормальной реакции опоры меньше силы тяжести, так как вертикальная составляющая силы натяжения "приподнимает" санки.

Подставим выражение для $N$ в формулу для силы трения: $F_{тр} = \mu (mg - T \sin(\alpha))$.

Теперь подставим это выражение для силы трения в уравнение для оси OX, чтобы найти силу натяжения $T$: $T \cos(\alpha) - \mu (mg - T \sin(\alpha)) = 0$.
Раскроем скобки и выразим $T$:
$T \cos(\alpha) - \mu mg + \mu T \sin(\alpha) = 0$
$T (\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)) = \mu mg$
$T = \frac{\mu mg}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)}$

Мощность $P$, развиваемая силой натяжения $\vec{T}$, определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости: $P = \vec{T} \cdot \vec{v}$. Поскольку скорость направлена горизонтально, угол между векторами $\vec{T}$ и $\vec{v}$ равен $\alpha$. Таким образом, мощность равна: $P = T v \cos(\alpha)$.

Подставим найденное выражение для $T$ в формулу мощности: $P = \left( \frac{\mu mg}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)} \right) v \cos(\alpha) = \frac{\mu mgv \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)}$.

Поскольку по условию угол $\alpha = 45^\circ$, а для этого угла $\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ)$, выражение для мощности можно упростить: $P = \frac{\mu mgv \cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ) + \mu \cos(45^\circ)} = \frac{\mu mgv \cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ)(1 + \mu)} = \frac{\mu mgv}{1 + \mu}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$. $P = \frac{0,10 \cdot 40 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot 0,66 \frac{м}{с}}{1 + 0,10} = \frac{25,872 \text{ Вт}}{1,1} \approx 23,52$ Вт.

Исходные данные в задаче даны с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр. $P \approx 24$ Вт.

Ответ: $P \approx 24$ Вт.