Номер 966, страница 184 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Кинематический закон движения первого тела: $x_1(t) = B_1t + C_1t^2$.

Кинематический закон движения второго тела: $x_2(t) = A_2 + B_2t + C_2t^2$.

Коэффициенты для первого тела: $B_1 = 2 \frac{м}{с}$, $C_1 = 0,5 \frac{м}{с^2}$.

Коэффициенты для второго тела: $A_2 = 4 \text{ м}$, $B_2 = 20 \frac{м}{с}$, $C_2 = -1 \frac{м}{с^2}$.

Соотношение масс: масса второго тела в $n=4$ раза меньше массы первого, то есть $m_1 = n \cdot m_2 = 4m_2$.

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

$t$ — время, через которое кинетические энергии тел станут одинаковыми.

Решение:

Кинетическая энергия тела определяется формулой $K = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

По условию задачи, кинетические энергии двух тел должны стать равными: $K_1 = K_2$.

$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{m_2v_2^2}{2}$

Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$.

Найдем скорости для каждого тела:

Скорость первого тела: $v_1(t) = \frac{dx_1}{dt} = \frac{d}{dt}(B_1t + C_1t^2) = B_1 + 2C_1t$.

Скорость второго тела: $v_2(t) = \frac{dx_2}{dt} = \frac{d}{dt}(A_2 + B_2t + C_2t^2) = B_2 + 2C_2t$.

Подставим выражения для скоростей и соотношение масс ($m_1 = 4m_2$) в уравнение равенства кинетических энергий:

$\frac{4m_2(B_1 + 2C_1t)^2}{2} = \frac{m_2(B_2 + 2C_2t)^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{m_2}{2}$ (так как масса не может быть равна нулю):

$4(B_1 + 2C_1t)^2 = (B_2 + 2C_2t)^2$

Теперь подставим числовые значения коэффициентов:

$B_1 = 2$, $C_1 = 0,5$, $B_2 = 20$, $C_2 = -1$.

$4(2 + 2 \cdot 0,5 \cdot t)^2 = (20 + 2 \cdot (-1) \cdot t)^2$

$4(2 + t)^2 = (20 - 2t)^2$

Раскроем скобки. Слева:

$4(4 + 4t + t^2) = 16 + 16t + 4t^2$

Справа:

$(20 - 2t)^2 = 400 - 80t + 4t^2$

Приравняем полученные выражения:

$16 + 16t + 4t^2 = 400 - 80t + 4t^2$

Члены с $4t^2$ взаимно уничтожаются:

$16 + 16t = 400 - 80t$

Перенесем слагаемые с $t$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$16t + 80t = 400 - 16$

$96t = 384$

Найдем $t$:

$t = \frac{384}{96} = 4 \text{ c}$

Ответ: кинетические энергии тел станут одинаковыми через 4 с.