Номер 967, страница 185 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 0,10$ кг
$l = 40$ см
$\alpha = 60^\circ$
$g \approx 9,8$ м/с²

$l = 40 \text{ см} = 0,40 \text{ м}$

Найти:

$E_k$ - ?

Решение:

Шарик, вращаясь в горизонтальной плоскости на нити, представляет собой конический маятник. На него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц$, направленное горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. В векторной форме: $m\vec{g} + \vec{T} = m\vec{a_ц}$.

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру окружности.

Проекция на ось OY (вертикальная):

Сумма вертикальных сил равна нулю, так как в этом направлении нет ускорения.

$T \cos(\alpha) - mg = 0$

$T \cos(\alpha) = mg \quad (1)$

Проекция на ось OX (горизонтальная):

Горизонтальная составляющая силы натяжения создает центростремительное ускорение.

$T \sin(\alpha) = ma_ц \quad (2)$

Центростремительное ускорение определяется как $a_ц = \frac{v^2}{r}$, где $v$ — скорость шарика, а $r$ — радиус окружности. Из геометрии маятника радиус $r$ можно выразить через длину нити $l$ и угол $\alpha$:

$r = l \sin(\alpha)$

Подставим выражение для $r$ в формулу для ускорения: $a_ц = \frac{v^2}{l \sin(\alpha)}$.

Теперь уравнение (2) имеет вид:

$T \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{l \sin(\alpha)} \quad (3)$

Чтобы найти скорость, разделим уравнение (3) на уравнение (1):

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{m \frac{v^2}{l \sin(\alpha)}}{mg}$

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gl \sin(\alpha)}$

Отсюда выразим квадрат скорости $v^2$:

$v^2 = gl \sin(\alpha) \tan(\alpha)$

Кинетическая энергия шарика вычисляется по формуле $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Подставим в нее полученное выражение для $v^2$:

$E_k = \frac{1}{2}m(gl \sin(\alpha) \tan(\alpha)) = \frac{1}{2}mgl \sin(\alpha) \tan(\alpha)$

Теперь подставим числовые значения в формулу. Учитывая, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$:

$E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,10 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,40 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ) \cdot \tan(60^\circ)$

$E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,10 \cdot 9,8 \cdot 0,40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}$

$E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,10 \cdot 9,8 \cdot 0,40 \cdot \frac{3}{2}$

$E_k = \frac{0,10 \cdot 9,8 \cdot 0,40 \cdot 3}{4} = 0,10 \cdot 9,8 \cdot 0,10 \cdot 3 = 0,294 \text{ Дж}$

Ответ: кинетическая энергия шарика равна $0,294$ Дж.