Номер 970, страница 185 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 2.5 \cdot 10^3$ кг

$R = 60$ м

$n = 2.0$

$\alpha = 30^\circ$

Примем $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

$E_k$

Решение:

Кинетическая энергия автомобиля определяется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ - масса автомобиля, а $v$ - его скорость. Скорость автомобиля по условию постоянна по модулю, но её значение неизвестно. Для нахождения скорости применим второй закон Ньютона для движения тела по дуге окружности.

На автомобиль, движущийся по выпуклому мосту, действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно поверхности моста (радиально от центра кривизны). Равнодействующая этих сил сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$, направленное к центру кривизны моста.

Сила давления $P$, которую автомобиль оказывает на мост, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции $N$, действующей на автомобиль со стороны моста ($P = N$).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление для двух положений автомобиля. Направим ось OY к центру кривизны моста.

1. В верхней точке моста. Сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $N_1$ направлены вдоль одной вертикальной прямой в противоположные стороны. Уравнение движения в проекции на ось OY имеет вид:

$mg - N_1 = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда сила реакции опоры $N_1 = mg - m \frac{v^2}{R}$. Сила давления в этой точке $P_1 = N_1$.

$P_1 = mg - m \frac{v^2}{R}$

2. В точке, где радиус-вектор, проведенный из центра кривизны, составляет угол $\alpha$ с вертикалью. Проекция силы тяжести на радиальное направление равна $mg \cos(\alpha)$. Уравнение движения для этой точки:

$mg \cos(\alpha) - N_2 = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда сила реакции опоры $N_2 = mg \cos(\alpha) - m \frac{v^2}{R}$. Сила давления в этой точке $P_2 = N_2$.

$P_2 = mg \cos(\alpha) - m \frac{v^2}{R}$

По условию задачи, $P_1 = n P_2$. Подставим полученные выражения для сил давления:

$mg - m \frac{v^2}{R} = n \left( mg \cos(\alpha) - m \frac{v^2}{R} \right)$

Сократим обе части уравнения на массу $m$ и выразим квадрат скорости $v^2$:

$g - \frac{v^2}{R} = n g \cos(\alpha) - n \frac{v^2}{R}$

$n \frac{v^2}{R} - \frac{v^2}{R} = n g \cos(\alpha) - g$

$\frac{v^2}{R}(n - 1) = g(n \cos(\alpha) - 1)$

$v^2 = \frac{gR(n \cos(\alpha) - 1)}{n - 1}$

Теперь можем найти кинетическую энергию автомобиля:

$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2} \cdot \frac{gR(n \cos(\alpha) - 1)}{n - 1} = \frac{mgR(n \cos(\alpha) - 1)}{2(n - 1)}$

Произведем вычисления, учитывая, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$E_k = \frac{2.5 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 60 \text{ м} \cdot (2.0 \cdot \cos(30^\circ) - 1)}{2(2.0 - 1)}$

$E_k = \frac{1.5 \cdot 10^6 \cdot (2.0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1)}{2} \text{ Дж} = \frac{1.5 \cdot 10^6 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{2} \text{ Дж}$

$E_k = 0.75 \cdot 10^6 \cdot (\sqrt{3} - 1) \text{ Дж} \approx 7.5 \cdot 10^5 \cdot (1.732 - 1) \text{ Дж} = 7.5 \cdot 10^5 \cdot 0.732 \text{ Дж} \approx 549000 \text{ Дж}$

Переведем в килоджоули:

$E_k = 549 \text{ кДж}$

Ответ: кинетическая энергия автомобиля равна 549 кДж.