Номер 968, страница 185 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость (горизонтальная) $v_0 = 10 \frac{м}{с}$

Отношение конечной и начальной кинетических энергий $\frac{E_k}{E_{k0}} = 2$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время $t$

Решение:

Движение тела, брошенного горизонтально, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали.

Начальная кинетическая энергия тела в момент броска ($t=0$) определяется его начальной скоростью $v_0$: $E_{k0} = \frac{m v_0^2}{2}$, где $m$ — масса тела.

В произвольный момент времени $t$ скорость тела имеет две составляющие:

- Горизонтальная составляющая скорости не изменяется, так как сопротивлением воздуха пренебрегаем: $v_x = v_0$.

- Вертикальная составляющая скорости возникает под действием силы тяжести и изменяется по закону: $v_y = gt$. Начальная вертикальная скорость равна нулю.

Модуль полной скорости $v$ в момент времени $t$ найдем по теореме Пифагора: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$.

Квадрат модуля скорости равен: $v^2 = v_0^2 + (gt)^2$.

Кинетическая энергия тела в момент времени $t$ равна: $E_k = \frac{m v^2}{2} = \frac{m (v_0^2 + (gt)^2)}{2}$.

Согласно условию задачи, кинетическая энергия тела возросла вдвое: $E_k = 2 E_{k0}$.

Подставим выражения для $E_k$ и $E_{k0}$ в это соотношение: $\frac{m (v_0^2 + (gt)^2)}{2} = 2 \cdot \frac{m v_0^2}{2}$.

Сократим общие множители $\frac{m}{2}$ в обеих частях уравнения: $v_0^2 + (gt)^2 = 2 v_0^2$.

Перенесем $v_0^2$ в правую часть: $(gt)^2 = 2 v_0^2 - v_0^2$, $(gt)^2 = v_0^2$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей (время $t$ не может быть отрицательным): $gt = v_0$.

Отсюда выразим время $t$: $t = \frac{v_0}{g}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу: $t = \frac{10 \, \text{м/с}}{10 \, \text{м/с}^2} = 1 \, \text{с}$.

Ответ: через 1 с.