Номер 9, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

9. Три мальчика бегут друг за другом с одинаковой скоростью. Первый мальчик прыгает в неподвижную тележку, оказавшуюся на его пути. Тележка приобретает скорость $v_1 = 1,0 \frac{M}{c}$. Затем в эту же тележку прыгает второй мальчик, и скорость движения тележки становится $v_2 = 1,5 \frac{M}{c}$. С какой скоростью будет двигаться тележка после того, как в нее запрыгнет третий мальчик? Массы мальчиков одинаковы. Трение не учитывать.

Дано:

Скорость тележки после прыжка первого мальчика $v_1 = 1,0 \frac{м}{с}$

Скорость тележки после прыжка второго мальчика $v_2 = 1,5 \frac{м}{с}$

Найти:

Скорость тележки после прыжка третьего мальчика $v_3$ - ?

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Поскольку трением можно пренебречь, система, состоящая из мальчиков и тележки, является замкнутой в горизонтальном направлении при каждом взаимодействии (прыжке).

Обозначим массу каждого мальчика как $m$, массу тележки как $M$, и начальную скорость каждого мальчика как $u$.

Рассмотрим последовательно три события.

1. Первый мальчик прыгает в тележку.

Начальный импульс системы «первый мальчик + тележка» равен импульсу мальчика, так как тележка была неподвижна.

$P_{i1} = m u$

После прыжка мальчик и тележка движутся вместе со скоростью $v_1$. Их суммарный импульс:

$P_{f1} = (m + M) v_1$

Согласно закону сохранения импульса, $P_{i1} = P_{f1}$:

$m u = (m + M) v_1$ (1)

2. Второй мальчик прыгает в тележку.

Начальный импульс системы «второй мальчик + (тележка с первым мальчиком)» равен сумме их импульсов:

$P_{i2} = m u + (m + M) v_1$

После прыжка тележка с двумя мальчиками движется со скоростью $v_2$.

$P_{f2} = (2m + M) v_2$

По закону сохранения импульса, $P_{i2} = P_{f2}$:

$m u + (m + M) v_1 = (2m + M) v_2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $mu$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$(m + M) v_1 + (m + M) v_1 = (2m + M) v_2$

$2(m + M) v_1 = (2m + M) v_2$

$2mv_1 + 2Mv_1 = 2mv_2 + Mv_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $m$ и $M$, чтобы найти их соотношение:

$2Mv_1 - Mv_2 = 2mv_2 - 2mv_1$

$M(2v_1 - v_2) = 2m(v_2 - v_1)$

$\frac{M}{m} = \frac{2(v_2 - v_1)}{2v_1 - v_2}$

Подставим числовые значения $v_1 = 1,0$ м/с и $v_2 = 1,5$ м/с:

$\frac{M}{m} = \frac{2(1,5 - 1,0)}{2 \cdot 1,0 - 1,5} = \frac{2 \cdot 0,5}{2,0 - 1,5} = \frac{1}{0,5} = 2$

Таким образом, масса тележки в два раза больше массы одного мальчика: $M = 2m$.

3. Третий мальчик прыгает в тележку.

Начальный импульс системы «третий мальчик + (тележка с двумя мальчиками)»:

$P_{i3} = m u + (2m + M) v_2$

Конечный импульс, когда все трое находятся в тележке, движущейся со скоростью $v_3$:

$P_{f3} = (3m + M) v_3$

Закон сохранения импульса для этого события:

$m u + (2m + M) v_2 = (3m + M) v_3$ (3)

Для решения этого уравнения подставим в него ранее найденные соотношения. Из уравнения (1) и $M=2m$ найдем $mu$:

$m u = (m + 2m)v_1 = 3mv_1$

Теперь подставим $mu = 3mv_1$ и $M = 2m$ в уравнение (3):

$3mv_1 + (2m + 2m) v_2 = (3m + 2m) v_3$

$3mv_1 + 4mv_2 = 5mv_3$

Можно сократить на массу $m$ (т.к. $m \neq 0$):

$3v_1 + 4v_2 = 5v_3$

Выразим искомую скорость $v_3$:

$v_3 = \frac{3v_1 + 4v_2}{5}$

Подставим известные числовые значения скоростей:

$v_3 = \frac{3 \cdot 1,0 + 4 \cdot 1,5}{5} = \frac{3 + 6}{5} = \frac{9}{5} = 1,8 \frac{м}{с}$

Ответ: скорость тележки после того, как в нее запрыгнет третий мальчик, будет равна $1,8 \frac{м}{с}$.