Номер 3, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. Лодка массой $m_1 = 100 \text{ кг}$ движется по озеру с постоянной скоростью, модуль которой $v_1 = 1,5 \frac{\text{M}}{\text{с}}$. С лодки прыгает мальчик массой $m_2 = 40 \text{ кг}$. Определите модуль скорости и направление движения лодки после прыжка мальчика, если мальчик прыгнет:

а) с носа лодки в направлении ее движения со скоростью, модуль которой $v_2 = 2,0 \frac{\text{M}}{\text{с}}$;

б) так же, как в предыдущем случае, но при $v_2 = 6,0 \frac{\text{M}}{\text{с}}$;

в) с кормы в направлении, противоположном движению лодки, при $v_2 = 2,0 \frac{\text{M}}{\text{с}}$. Определите также направление и модуль скорости, с которой должен прыгнуть мальчик, чтобы лодка остановилась. Все скорости рассматриваются в системе отсчета «берег». В этой и последующих задачах силой сопротивления воды пренебречь.

Дано:

$m_1 = 100 \text{ кг}$ (масса лодки)

$m_2 = 40 \text{ кг}$ (масса мальчика)

$v_1 = 1,5 \text{ м/с}$ (начальная скорость лодки с мальчиком)

Найти:

Для каждого случая (а, б, в) - модуль скорости $u_1$ и направление движения лодки после прыжка.

Также - модуль скорости и направление прыжка мальчика, чтобы лодка остановилась.

Решение:

Система тел «лодка + мальчик» является замкнутой в горизонтальном направлении, так как по условию сила сопротивления воды пренебрежимо мала. Поэтому для этой системы можно применить закон сохранения импульса.

Выберем систему отсчета, связанную с берегом. Направим ось OX в сторону первоначального движения лодки.

Импульс системы до прыжка мальчика: $P_{\text{до}} = (m_1 + m_2) v_1$

Импульс системы после прыжка мальчика: $P_{\text{после}} = m_1 u_1 + m_2 v_2$

Здесь $u_1$ — скорость лодки после прыжка, а $v_2$ — скорость мальчика после прыжка (обе скорости относительно берега).

Согласно закону сохранения импульса, $P_{\text{до}} = P_{\text{после}}$. В проекции на ось OX: $(m_1 + m_2) v_1 = m_1 u_1 + m_2 v_2$

Из этого уравнения выразим искомую скорость лодки $u_1$: $u_1 = \frac{(m_1 + m_2) v_1 - m_2 v_2}{m_1}$

Рассчитаем начальный импульс системы: $P_{\text{до}} = (100 \text{ кг} + 40 \text{ кг}) \cdot 1,5 \text{ м/с} = 140 \text{ кг} \cdot 1,5 \text{ м/с} = 210 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

а) с носа лодки в направлении ее движения со скоростью, модуль которой $v_2 = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$;

Мальчик прыгает в направлении движения лодки, поэтому проекция его скорости на ось OX положительна: $v_2 = 2,0 \text{ м/с}$. $u_1 = \frac{210 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 40 \text{ кг} \cdot 2,0 \text{ м/с}}{100 \text{ кг}} = \frac{210 - 80}{100} \text{ м/с} = \frac{130}{100} \text{ м/с} = 1,3 \text{ м/с}$

Знак $u_1$ положительный, следовательно, лодка продолжит движение в том же направлении.

Ответ: скорость лодки равна 1,3 м/с, направление движения не изменилось.

б) так же, как в предыдущем случае, но при $v_2 = 6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$;

Скорость мальчика также направлена в сторону движения лодки: $v_2 = 6,0 \text{ м/с}$. $u_1 = \frac{210 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 40 \text{ кг} \cdot 6,0 \text{ м/с}}{100 \text{ кг}} = \frac{210 - 240}{100} \text{ м/с} = \frac{-30}{100} \text{ м/с} = -0,3 \text{ м/с}$

Знак $u_1$ отрицательный, это означает, что лодка после прыжка мальчика будет двигаться в направлении, противоположном первоначальному.

Ответ: скорость лодки равна 0,3 м/с, направление движения изменилось на противоположное.

в) с кормы в направлении, противоположном движению лодки, при $v_2 = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Определите также направление и модуль скорости, с которой должен прыгнуть мальчик, чтобы лодка остановилась.

Рассмотрим первую часть условия: мальчик прыгает с кормы. Его скорость направлена против движения лодки, поэтому проекция его скорости на ось OX отрицательна: $v_2 = -2,0 \text{ м/с}$. $u_1 = \frac{210 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 40 \text{ кг} \cdot (-2,0 \text{ м/с})}{100 \text{ кг}} = \frac{210 + 80}{100} \text{ м/с} = \frac{290}{100} \text{ м/с} = 2,9 \text{ м/с}$

Знак $u_1$ положительный, значит, лодка увеличит свою скорость и продолжит движение в прежнем направлении.

Теперь рассмотрим вторую часть условия: определим скорость мальчика $v_{2,\text{ост}}$, при которой лодка остановится, то есть $u_1 = 0$. Подставим $u_1 = 0$ в закон сохранения импульса: $(m_1 + m_2) v_1 = m_1 \cdot 0 + m_2 v_{2,\text{ост}}$ $v_{2,\text{ост}} = \frac{(m_1 + m_2) v_1}{m_2} = \frac{210 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{40 \text{ кг}} = 5,25 \text{ м/с}$

Полученное значение скорости $v_{2,\text{ост}}$ положительно. Это означает, что для остановки лодки мальчик должен прыгнуть в направлении первоначального движения лодки, то есть с носа.

Ответ: если мальчик прыгнет с кормы со скоростью 2,0 м/с, то скорость лодки станет 2,9 м/с в прежнем направлении. Чтобы лодка остановилась, мальчик должен прыгнуть вперед (по ходу движения) со скоростью 5,25 м/с.