Номер 1156, страница 214 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R = 20 \text{ мм} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,02 \text{ м}$

$B = 50 \text{ мТл} = 50 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,05 \text{ Тл}$

$I = 4,0 \text{ А}$

Найти:

$F$

Решение:

На проволочную рамку с током, помещенную в магнитное поле, действует вращающий момент. Рамка представляет собой замкнутый контур, состоящий из полуокружности и диаметра. Вращающий момент $M$, действующий на плоский замкнутый контур с током в однородном магнитном поле, определяется формулой:

$M = p_m B \sin\alpha$

где $p_m$ - магнитный момент контура, $B$ - модуль магнитной индукции, $\alpha$ - угол между вектором магнитного момента $\vec{p}_m$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Магнитный момент контура равен произведению силы тока $I$ на площадь контура $S$:

$p_m = I S$

Площадь, ограниченная контуром (полукругом), равна:

$S = \frac{1}{2}\pi R^2$

Согласно условию, рамка находится в вертикальном положении, а ось вращения (диаметр) горизонтальна. Вектор магнитного момента $\vec{p}_m$ перпендикулярен плоскости рамки, следовательно, он направлен горизонтально. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен вертикально. Таким образом, угол между векторами $\vec{p}_m$ и $\vec{B}$ составляет $\alpha = 90^\circ$.

Следовательно, модуль вращающего момента, создаваемого магнитным полем, равен:

$M_{магн} = I S B \sin(90^\circ) = I \left(\frac{1}{2}\pi R^2\right) B = \frac{1}{2} \pi I B R^2$

Чтобы удержать рамку в равновесии, необходимо приложить внешнюю силу $F$, создающую момент $M_{внешн}$, который должен быть равен по модулю и противоположен по направлению магнитному моменту:

$M_{внешн} = M_{магн}$

Момент внешней силы определяется как $M_{внешн} = F \cdot l$, где $l$ - плечо силы. Чтобы приложенная сила $F$ была минимальной, ее плечо должно быть максимальным. Максимальное плечо равно расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки рамки, то есть радиусу $R$. Силу при этом следует приложить к верхней точке полуокружности перпендикулярно радиусу (то есть горизонтально).

$l_{max} = R$

Таким образом, условие равновесия принимает вид:

$F_{min} \cdot R = \frac{1}{2} \pi I B R^2$

Отсюда выражаем минимальную силу:

$F_{min} = \frac{1}{2} \pi I B R$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$F_{min} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 4,0 \text{ А} \cdot 0,05 \text{ Тл} \cdot 0,02 \text{ м} = 0,002 \cdot \pi \text{ Н} \approx 0,00628 \text{ Н}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$F_{min} \approx 6,3 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 6,3 \text{ мН}$

Ответ: модуль минимальной силы $F$, которую необходимо приложить к рамке, равен $6,3 \text{ мН}$.