Номер 1152, страница 213 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Два плоских кольца с токами, расположенные во взаимно перпендикулярных плоскостях с общим центром.
Соотношение радиусов: $R_2 = 2R_1$ (где $R_1$ - радиус меньшего кольца, $R_2$ - радиус большего)
Модуль результирующей индукции магнитного поля в центре: $B_0 = 2,0$ мТл
Модуль индукции поля от меньшего кольца: $B_1 = 1,2$ мТл
Сила тока в меньшем кольце: $I_1 = 5,0$ А

Перевод в систему СИ:
$B_0 = 2,0 \times 10^{-3}$ Тл
$B_1 = 1,2 \times 10^{-3}$ Тл

Найти:

$I_2$ — сила тока в большем кольце.

Решение:

Вектор магнитной индукции в центре кольца с током направлен перпендикулярно плоскости кольца. Поскольку плоскости двух колец взаимно перпендикулярны, то и векторы магнитной индукции $\vec{B_1}$ (от меньшего кольца) и $\vec{B_2}$ (от большего кольца) в их общем центре также взаимно перпендикулярны.

Результирующий вектор магнитной индукции $\vec{B_0}$ является векторной суммой полей $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$: $\vec{B_0} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$.

Так как векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ перпендикулярны, модуль результирующего вектора $B_0$ находится по теореме Пифагора:$B_0^2 = B_1^2 + B_2^2$

Из этого соотношения мы можем найти модуль индукции магнитного поля, создаваемого током в большем кольце ($B_2$):$B_2 = \sqrt{B_0^2 - B_1^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:$B_2 = \sqrt{(2,0 \times 10^{-3})^2 - (1,2 \times 10^{-3})^2} = \sqrt{(4,0 - 1,44) \times 10^{-6}} = \sqrt{2,56 \times 10^{-6}} = 1,6 \times 10^{-3}$ Тл.

Модуль магнитной индукции в центре кругового витка с током определяется по формуле:$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$, где $\mu_0$ — магнитная постоянная, $I$ — сила тока, $R$ — радиус кольца.

Запишем это выражение для каждого из колец:
Для меньшего кольца: $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R_1}$
Для большего кольца: $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2R_2}$

Чтобы найти $I_2$, составим отношение выражений для $B_2$ и $B_1$:$\frac{B_2}{B_1} = \frac{\frac{\mu_0 I_2}{2R_2}}{\frac{\mu_0 I_1}{2R_1}} = \frac{I_2}{I_1} \cdot \frac{R_1}{R_2}$

Из условия задачи известно, что $R_2 = 2R_1$. Подставим это соотношение в полученную формулу:$\frac{B_2}{B_1} = \frac{I_2}{I_1} \cdot \frac{R_1}{2R_1} = \frac{I_2}{2I_1}$

Выразим искомую силу тока $I_2$:$I_2 = 2I_1 \frac{B_2}{B_1}$

Подставим известные и вычисленные значения:$I_2 = 2 \cdot 5,0 \text{ А} \cdot \frac{1,6 \times 10^{-3} \text{ Тл}}{1,2 \times 10^{-3} \text{ Тл}} = 10 \cdot \frac{1,6}{1,2} = 10 \cdot \frac{16}{12} = 10 \cdot \frac{4}{3} \approx 13,33$ А.

Все исходные данные представлены с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

Ответ: $I_2 \approx 13$ А.