Номер 1148, страница 212 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$r = 5,0 \text{ см}$

$I_1 = I_2 = I = 10 \text{ А}$

а) $r_1 = 4,0 \text{ см}$, $r_2 = 3,0 \text{ см}$

б) $r'_1 = r'_2 = r = 5,0 \text{ см}$

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}$ (магнитная постоянная)

Перевод в систему СИ:

$r = 0,05 \text{ м}$

$r_1 = 0,04 \text{ м}$

$r_2 = 0,03 \text{ м}$

$r'_1 = r'_2 = 0,05 \text{ м}$

Найти:

а) $B_a$

б) $B_b$

Решение:

Модуль индукции магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током $I$ на расстоянии $R$ от него, определяется по формуле:

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$

Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу правой руки (правилу буравчика). Результирующая индукция магнитного поля в точке находится по принципу суперпозиции полей: $\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$, где $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ — векторы индукции полей, создаваемых первым и вторым проводниками соответственно.

а) Найдем положение точки относительно проводников. Расстояние между проводниками $r = 5,0$ см, а расстояния от точки до проводников $r_1 = 4,0$ см и $r_2 = 3,0$ см. Так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, то есть $r_2^2 + r_1^2 = r^2$, то точка и два проводника образуют прямоугольный треугольник, где прямой угол находится в искомой точке.

Вектор $\vec{B_1}$ перпендикулярен отрезку $r_1$, а вектор $\vec{B_2}$ перпендикулярен отрезку $r_2$. Следовательно, векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ также взаимно перпендикулярны.

Вычислим модули векторов индукции:

$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0,04} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0,04} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} = 50 \text{ мкТл}$

$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0,03} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0,03} \approx 6,67 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \approx 67 \text{ мкТл}$

Так как векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ перпендикулярны, модуль результирующего вектора найдем по теореме Пифагора:

$B_a = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(5 \cdot 10^{-5})^2 + (\frac{2}{3} \cdot 10^{-4})^2} = \sqrt{25 \cdot 10^{-10} + 44,44 \cdot 10^{-10}} = \sqrt{69,44 \cdot 10^{-10}} \approx 8,33 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$

Ответ: $B_a \approx 8,3 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$.

б) В этом случае точка находится на расстоянии $r' = 5,0$ см от каждого проводника, а расстояние между проводниками также равно $r = 5,0$ см. Таким образом, точка и проводники образуют равносторонний треугольник со стороной 5,0 см.

Так как токи и расстояния до точки одинаковы, модули индукций $B'_1$ и $B'_2$ равны:

$B'_1 = B'_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r'} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0,05} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0,05} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} = 40 \text{ мкТл}$

Угол между сторонами треугольника, сходящимися в искомой точке, равен $60^\circ$. Поскольку токи направлены в противоположные стороны, а векторы индукции перпендикулярны соответствующим радиус-векторам, угол $\alpha$ между векторами $\vec{B'_1}$ и $\vec{B'_2}$ будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Модуль результирующего вектора найдем по теореме косинусов:

$B_b^2 = (B'_1)^2 + (B'_2)^2 + 2B'_1 B'_2 \cos\alpha$

Так как $B'_1 = B'_2$ и $\cos 120^\circ = -0,5$:

$B_b^2 = (B'_1)^2 + (B'_1)^2 + 2(B'_1)^2 (-0,5) = 2(B'_1)^2 - (B'_1)^2 = (B'_1)^2$

$B_b = B'_1 = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$

Ответ: $B_b = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$.