Номер 1151, страница 213 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Случай 1:
Радиус кольца: $R_1 = R$
Число витков: $N_1 = 1$
Напряжение источника: $U_1 = U$

Случай 2:
Радиус кольца: $R_2 = R/2$
Число витков: $N_2 = 2$
Напряжение источника: $U_2 = U$

Используется один и тот же кусок проволоки, следовательно, его длина $L$, удельное сопротивление $\rho$ и площадь поперечного сечения $S$ остаются неизменными.

Найти:

Отношение индукций магнитного поля: $\frac{B_2}{B_1}$

Решение:

Индукция магнитного поля в центре катушки, состоящей из $N$ круговых витков радиусом $R_{витка}$ с током $I$, определяется по формуле:

$B = N \frac{\mu_0 I}{2 R_{витка}}$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная.

1. Рассмотрим первый случай (одиночное кольцо).

Длина проволоки $L$ равна длине окружности кольца:

$L = 2\pi R_1 = 2\pi R$

Электрическое сопротивление проволоки $R_{эл1}$ равно:

$R_{эл1} = \rho \frac{L}{S} = \rho \frac{2\pi R}{S}$

Согласно закону Ома, сила тока $I_1$ в кольце равна:

$I_1 = \frac{U_1}{R_{эл1}} = \frac{U}{\rho \frac{2\pi R}{S}} = \frac{U S}{2\pi \rho R}$

Тогда индукция магнитного поля $B_1$ в центре кольца составляет:

$B_1 = N_1 \frac{\mu_0 I_1}{2 R_1} = 1 \cdot \frac{\mu_0}{2R} \cdot \left( \frac{U S}{2\pi \rho R} \right) = \frac{\mu_0 U S}{4\pi \rho R^2}$

2. Рассмотрим второй случай (двойное кольцо).

В этом случае из того же куска проволоки делают двойное кольцо ($N_2=2$) радиусом $R_2=R/2$. Длина проволоки, необходимая для этого, равна:

$L_2 = N_2 \cdot (2\pi R_2) = 2 \cdot (2\pi \frac{R}{2}) = 2\pi R$

Эта длина совпадает с исходной длиной $L$, что подтверждает корректность условия.

Поскольку используется та же проволока, ее электрическое сопротивление $R_{эл2}$ не изменилось: $R_{эл2} = R_{эл1}$.

Кольцо подключено к тому же источнику, поэтому напряжение $U_2 = U$. Сила тока $I_2$ будет равна:

$I_2 = \frac{U_2}{R_{эл2}} = \frac{U}{R_{эл1}} = I_1$

Индукция магнитного поля $B_2$ в центре двойного кольца равна:

$B_2 = N_2 \frac{\mu_0 I_2}{2 R_2} = 2 \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2 (R/2)} = \frac{2\mu_0 I_1}{R}$

3. Найдем отношение индукций $B_2$ и $B_1$.

Разделим выражение для $B_2$ на выражение для $B_1$:

$\frac{B_2}{B_1} = \frac{\frac{2\mu_0 I_1}{R}}{\frac{\mu_0 I_1}{2R}} = \frac{2\mu_0 I_1}{R} \cdot \frac{2R}{\mu_0 I_1} = 4$

Также можно подставить полные выражения для $B_1$ и $B_2$:

$B_2 = \frac{2\mu_0}{R} \cdot \left( \frac{U S}{2\pi \rho R} \right) = \frac{\mu_0 U S}{\pi \rho R^2}$

$\frac{B_2}{B_1} = \frac{\frac{\mu_0 U S}{\pi \rho R^2}}{\frac{\mu_0 U S}{4\pi \rho R^2}} = \frac{4\pi \rho R^2}{\pi \rho R^2} = 4$

Таким образом, индукция магнитного поля в центре кольца увеличится в 4 раза.

Ответ: Индукция магнитного поля увеличится в 4 раза.