Номер 1149, страница 213 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 10 \text{ см}$
$I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = I = 5,0 \text{ А}$
$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}$ (магнитная постоянная)

$a = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$B$ — модуль индукции магнитного поля в центре квадрата для случаев а и б.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, индукция результирующего магнитного поля в центре квадрата равна векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым из четырех проводников:

$\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 + \vec{B}_4$

Модуль индукции магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводником с током $I$ на расстоянии $r$ от него, определяется по формуле:

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Все проводники находятся на одинаковом расстоянии от центра квадрата. Это расстояние равно половине диагонали квадрата:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{0,1 \cdot \sqrt{2}}{2} \approx 0,0707 \text{ м}$

Так как сила тока $I$ и расстояние $r$ одинаковы для всех проводников, модули индукции, создаваемой каждым из них в центре квадрата, также одинаковы:

$B_1 = B_2 = B_3 = B_4 = B_0 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{\mu_0 I}{\pi a \sqrt{2}}$

Направление векторов индукции $\vec{B}_i$ определяется по правилу правой руки (правилу буравчика). Вектор индукции в любой точке перпендикулярен радиус-вектору, проведенному от проводника к этой точке, и направлен по касательной к силовой линии.

а) Рассмотрим случай, представленный на рис. 146, а. Направления токов: $I_1$ и $I_4$ — от нас (в плоскость чертежа), $I_2$ и $I_3$ — к нам (из плоскости чертежа).

Определим направления векторов индукции в центре квадрата (точке О):

• $\vec{B}_1$ (от $I_1$): направлен по диагонали к правому нижнему углу.
• $\vec{B}_2$ (от $I_2$): направлен по диагонали к левому нижнему углу.
• $\vec{B}_3$ (от $I_3$): направлен по диагонали к левому верхнему углу.
• $\vec{B}_4$ (от $I_4$): направлен по диагонали к правому верхнему углу.

При сложении векторов $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_3$ взаимно уничтожаются, так как они равны по модулю и противоположны по направлению ($\vec{B}_1 + \vec{B}_3 = 0$). Аналогично, векторы $\vec{B}_2$ и $\vec{B}_4$ также взаимно уничтожаются ($\vec{B}_2 + \vec{B}_4 = 0$).

Таким образом, результирующая индукция магнитного поля в центре квадрата равна нулю.

$\vec{B}_a = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 + \vec{B}_4 = (\vec{B}_1 + \vec{B}_3) + (\vec{B}_2 + \vec{B}_4) = 0$

Ответ: $B_a = 0 \text{ Тл}$.

б) Рассмотрим случай, представленный на рис. 146, б. Направления токов: $I_1$ и $I_3$ — от нас, $I_2$ и $I_4$ — к нам.

Определим направления векторов индукции в центре квадрата (точке О):

• $\vec{B}_1$ (от $I_1$): направлен по диагонали к правому нижнему углу.
• $\vec{B}_2$ (от $I_2$): направлен по диагонали к левому нижнему углу.
• $\vec{B}_3$ (от $I_3$): направлен по диагонали к левому нижнему углу.
• $\vec{B}_4$ (от $I_4$): направлен по диагонали к правому нижнему углу.

Векторы $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_4$ сонаправлены, их сумма равна $2\vec{B}_0$ и направлена к правому нижнему углу.

Векторы $\vec{B}_2$ и $\vec{B}_3$ также сонаправлены, их сумма равна $2\vec{B}_0$ и направлена к левому нижнему углу.

Результирующий вектор $\vec{B}_б$ является суммой двух векторов величиной $2B_0$, направленных под углом 90° друг к другу (вдоль диагоналей). По теореме Пифагора, модуль результирующего вектора:

$B_б = \sqrt{(2B_0)^2 + (2B_0)^2} = \sqrt{4B_0^2 + 4B_0^2} = \sqrt{8B_0^2} = 2\sqrt{2}B_0$

Подставим выражение для $B_0$:

$B_б = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{\pi a \sqrt{2}} = \frac{2\mu_0 I}{\pi a}$

Выполним вычисления:

$B_б = \frac{2 \cdot (4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}) \cdot 5,0 \text{ А}}{\pi \cdot 0,1 \text{ м}} = \frac{40\pi \cdot 10^{-7}}{0,1\pi} = 400 \cdot 10^{-7} \text{ Тл} = 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$

Ответ: $B_б = 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$ (или $40 \text{ мкТл}$).