Номер 1194, страница 221 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса тела: $m$

Заряд тела: $q$

Длина нити: $l$

Индукция магнитного поля: $B$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Наименьшая начальная скорость: $v_0$

Решение:

На тело, движущееся по окружности в вертикальной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила Лоренца $\vec{F_L}$. Условием совершения полного оборота является то, что сила натяжения нити должна быть неотрицательной в любой точке траектории: $T \ge 0$.

Сила Лоренца, действующая на заряд, определяется выражением $\vec{F_L} = q(\vec{v} \times \vec{B})$. Поскольку вектор скорости $\vec{v}$ лежит в вертикальной плоскости, а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен этой плоскости, сила Лоренца всегда будет направлена вдоль радиуса окружности (перпендикулярно скорости $\vec{v}$). Её модуль равен $F_L = |q|vB$.

В зависимости от знака заряда $q$ и направления вектора $\vec{B}$, сила Лоренца может быть направлена либо к центру окружности, либо от центра. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшую скорость $v_0$. Этой скорости будет соответствовать такая конфигурация поля и заряда, при которой совершить полный оборот легче всего. Легче всего это сделать, когда дополнительная сила (в данном случае сила Лоренца) помогает удерживать нить в натянутом состоянии. Это происходит, когда сила Лоренца направлена от центра окружности, "помогая" центробежной силе инерции. Поэтому для нахождения наименьшей $v_0$ будем рассматривать случай, когда $\vec{F_L}$ направлена радиально от центра.

Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на радиальное направление (направленное к центру окружности). Пусть $\theta$ — угол, отсчитываемый от нижней точки траектории. Тогда проекция силы тяжести на радиальное направление равна $-mg\cos\theta$. Сила Лоренца направлена от центра, поэтому ее проекция равна $-|q|vB$.

$T + mg\cos\theta - |q|vB = \frac{mv^2}{l}$

Отсюда сила натяжения нити: $T = \frac{mv^2}{l} + |q|vB - mg\cos\theta$

Нужно найти точку, где натяжение минимально. Скорость $v$ и косинус угла $\cos\theta$ достигают своего минимума в верхней точке траектории ($\theta=\pi$, $\cos\theta=-1$). В этой же точке будет и минимальное натяжение нити. Обозначим скорость в верхней точке через $v_t$.

$T_{min} = T_{top} = \frac{mv_t^2}{l} + |q|v_tB - mg\cos(\pi) = \frac{mv_t^2}{l} + |q|v_tB + mg$

Извините, в предыдущей формуле была ошибка. Проекция силы тяжести на радиальное направление (к центру) в произвольной точке равна $-mg \cos\theta$. В верхней точке ($\theta = \pi$) эта проекция равна $-mg\cos(\pi) = mg$.

Правильное уравнение для проекции на радиальную ось (к центру) в верхней точке:

$T_t + mg - |q|v_tB = \frac{mv_t^2}{l}$

Условие минимальной скорости для совершения оборота соответствует $T_t = 0$:

$mg - |q|v_tB = \frac{mv_t^2}{l}$

Перепишем это в виде квадратного уравнения относительно $v_t$:

$mv_t^2 + |q|Blv_t - mgl = 0$

Решая это уравнение, находим положительный корень для скорости $v_t$:

$v_t = \frac{-|q|Bl + \sqrt{(|q|Bl)^2 - 4m(-mgl)}}{2m} = \frac{-|q|Bl + \sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl}}{2m}$

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии, так как сила Лоренца работы не совершает (она перпендикулярна скорости). Сравним энергию в нижней (скорость $v_0$, высота 0) и верхней (скорость $v_t$, высота $2l$) точках:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_t^2}{2} + mg(2l)$

$v_0^2 = v_t^2 + 4gl$

Подставим найденное выражение для $v_t$:

$v_0^2 = \left(\frac{\sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl} - |q|Bl}{2m}\right)^2 + 4gl$

$v_0^2 = \frac{((qBl)^2 + 4m^2gl) - 2|q|Bl\sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl} + (qBl)^2}{4m^2} + 4gl$

$v_0^2 = \frac{2(qBl)^2 + 4m^2gl - 2|q|Bl\sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl}}{4m^2} + 4gl$

$v_0^2 = \frac{(qBl)^2}{2m^2} + gl - \frac{|q|Bl}{2m^2}\sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl} + 4gl$

$v_0^2 = 5gl + \frac{(qBl)^2}{2m^2} - \frac{|q|Bl}{2m^2}\sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl}$

$v_0 = \sqrt{5gl + \frac{(qBl)^2}{2m^2} - \frac{|q|Bl}{2m^2}\sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl}}$

Ответ:

$v_0 = \sqrt{5gl + \frac{(qBl)^2}{2m^2} - \frac{|q|Bl}{2m^2}\sqrt{(qBl)^2 + 4m^2gl}}$