Номер 1188, страница 219 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость электрона, $v_0 = 2.0 \cdot 10^7$ м/с
Длина обкладок конденсатора, $l = 10$ см
Напряженность электростатического поля, $E = 0.20$ кВ/см
Модуль индукции магнитного поля, $B = 20$ мТл
Заряд электрона, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса электрона, $m \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

$l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$E = 0.20 \frac{\text{кВ}}{\text{см}} = 0.20 \cdot \frac{10^3 \text{ В}}{10^{-2} \text{ м}} = 2.0 \cdot 10^4 \text{ В/м}$
$B = 20 \text{ мТл} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 2.0 \cdot 10^{-2} \text{ Тл}$

Найти:

Радиус винтовой траектории $R$.

Решение:

1. Движение электрона в конденсаторе.

Введем систему координат: ось $OX$ направим вдоль начальной скорости электрона (параллельно обкладкам), а ось $OY$ — перпендикулярно обкладкам, вдоль силовых линий электрического поля.

В конденсаторе на электрон действует постоянная электрическая сила $F_E = eE$, направленная вдоль оси $OY$. Эта сила сообщает электрону ускорение $a_y = \frac{F_E}{m} = \frac{eE}{m}$.

Движение электрона можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного вдоль оси $OX$ со скоростью $v_x = v_0$ и равноускоренного вдоль оси $OY$ с начальной скоростью $v_{0y} = 0$.

Время пролета электрона внутри конденсатора $t$ определяется его движением вдоль оси $OX$:

$l = v_0 t \implies t = \frac{l}{v_0}$

За это время электрон приобретает вертикальную составляющую скорости $v_y$, которая к моменту вылета из конденсатора будет равна:

$v_y = a_y t = \frac{eE}{m} \frac{l}{v_0}$

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ при этом не изменяется: $v_x = v_0$.

2. Движение электрона в магнитном поле.

При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле. Его скорость $\vec{v}$ имеет две компоненты: $\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j}$.

По условию, линии индукции магнитного поля $\vec{B}$ перпендикулярны линиям напряженности электростатического поля $\vec{E}$. Так как вектор $\vec{E}$ направлен вдоль оси $OY$, вектор $\vec{B}$ лежит в плоскости $XOZ$.

Траектория электрона в магнитном поле является винтовой. Это означает, что вектор скорости $\vec{v}$ имеет составляющую, параллельную вектору $\vec{B}$ ($v_{\parallel}$), которая отвечает за движение вдоль оси винта, и составляющую, перпендикулярную вектору $\vec{B}$ ($v_{\perp}$), которая определяет вращательное движение по окружности. Радиус этой окружности и есть радиус винтовой траектории:

$R = \frac{m v_{\perp}}{eB}$

Для существования винтовой траектории (а не окружности) необходимо, чтобы $v_{\parallel} \neq 0$. Скорость электрона при вылете из конденсатора лежит в плоскости $XOY$. Наиболее естественным предположением, соответствующим условию задачи, является то, что магнитное поле $\vec{B}$ направлено вдоль оси $OX$ (параллельно начальной скорости электрона). В этом случае:

• Составляющая скорости, параллельная $\vec{B}$: $v_{\parallel} = v_x = v_0$.

• Составляющая скорости, перпендикулярная $\vec{B}$: $v_{\perp} = v_y$.

Тогда формула для радиуса винтовой траектории принимает вид:

$R = \frac{m v_y}{eB}$

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $v_y$:

$R = \frac{m}{eB} \left( \frac{eEl}{mv_0} \right) = \frac{El}{Bv_0}$

3. Вычисления.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$R = \frac{(2.0 \cdot 10^4 \text{ В/м}) \cdot (0.1 \text{ м})}{(2.0 \cdot 10^{-2} \text{ Тл}) \cdot (2.0 \cdot 10^7 \text{ м/с})} = \frac{2.0 \cdot 10^3}{4.0 \cdot 10^5} \text{ м} = 0.5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$R = 0.005 \text{ м} = 5 \text{ мм}$

Ответ: $R = 5$ мм.