Номер 1184, страница 219 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Магнитная индукция $B = 20 \text{ мТл}$

Радиус дуги окружности $R = 20 \text{ см}$

Частица - протон, следовательно, его заряд $q = e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса протона $m = 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$B = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.02 \text{ Тл}$

$R = 20 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Тормозящую разность потенциалов $|U|$

Решение:

Когда протон движется в магнитном поле по дуге окружности, на него действует сила Лоренца, которая выступает в роли центростремительной силы. Это происходит, когда вектор скорости протона $\vec{v}$ перпендикулярен вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Сила Лоренца определяется формулой:

$F_Л = qvB$

Центростремительная сила, действующая на тело массой $m$, движущееся со скоростью $v$ по окружности радиусом $R$, равна:

$F_ц = \frac{mv^2}{R}$

Приравнивая эти силы, получаем равенство:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого уравнения можно выразить скорость протона $v$:

$v = \frac{qBR}{m}$

После вылета из магнитного поля протон тормозится электростатическим полем. Согласно теореме о кинетической энергии, работа $A$ электростатического поля равна изменению кинетической энергии протона $\Delta W_к$.

$A = \Delta W_к = W_{к,конечная} - W_{к,начальная}$

Поскольку протон полностью тормозится, его конечная кинетическая энергия $W_{к,конечная} = 0$. Начальная кинетическая энергия $W_{к,начальная} = \frac{mv^2}{2}$.

Следовательно, работа поля $A = 0 - \frac{mv^2}{2} = -\frac{mv^2}{2}$.

С другой стороны, работа электростатического поля по перемещению заряда $q$ через разность потенциалов $U$ равна $A = qU$. Так как поле тормозящее, работа отрицательна.

Приравниваем два выражения для работы:

$qU = -\frac{mv^2}{2}$

Нас интересует модуль тормозящей разности потенциалов $|U|$:

$|U| = \frac{mv^2}{2q}$

Подставим ранее найденное выражение для скорости $v$ в эту формулу:

$|U| = \frac{m}{2q} \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{m}{2q} \frac{q^2B^2R^2}{m^2} = \frac{qB^2R^2}{2m}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ для вычисления ответа:

$|U| = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot (0.02 \text{ Тл})^2 \cdot (0.2 \text{ м})^2}{2 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}$

$|U| = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot (4 \cdot 10^{-4}) \cdot (4 \cdot 10^{-2})}{3.34 \cdot 10^{-27}} \text{ В}$

$|U| = \frac{25.6 \cdot 10^{-25}}{3.34 \cdot 10^{-27}} \text{ В} \approx 7.66 \cdot 10^2 \text{ В}$

Ответ: $|U| \approx 766 \text{ В}$.