Номер 1183, страница 218 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$B = 1,10 \text{ мТл} = 1,10 \times 10^{-3} \text{ Тл}$
$U = 10 \text{ кВ} = 1,0 \times 10^4 \text{ В}$
Ионы водорода: $^1\text{H}$, $^2\text{H}$, $^3\text{H}$
$m_1 = m_p \approx 1,673 \times 10^{-27} \text{ кг}$ (протий)
$m_2 = 2m_p \approx 3,346 \times 10^{-27} \text{ кг}$ (дейтерий)
$m_3 = 3m_p \approx 5,019 \times 10^{-27} \text{ кг}$ (тритий)
Заряд иона $q$ равен элементарному заряду $e \approx 1,602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

$d_1, d_2, d_3$

Решение:

Ионы, образовавшиеся в ионизаторе, ускоряются электростатическим полем. По закону сохранения энергии, работа электрического поля $A = qU$ переходит в кинетическую энергию иона $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Начальную скорость ионов считаем равной нулю.$qU = \frac{mv^2}{2}$Отсюда можно выразить скорость $v$, с которой ион влетает в магнитное поле:$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

После ускорения ионы попадают в однородное магнитное поле, где на них действует сила Лоренца $F_Л$. Эта сила перпендикулярна скорости движения ионов и вектору магнитной индукции, поэтому она сообщает ионам центростремительное ускорение, заставляя их двигаться по дуге окружности.$F_Л = qvB$Эта сила является центростремительной:$F_ц = \frac{mv^2}{R}$Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:$qvB = \frac{mv^2}{R}$Из этого уравнения выразим радиус $R$ траектории движения иона:$R = \frac{mv}{qB}$

Подставим в формулу для радиуса полученное ранее выражение для скорости $v$:$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2qU}{q^2 \cdot m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$Из рисунка видно, что ионы движутся по полуокружности. Расстояние $d$ от щели до места, где ион попадает на фотопластинку, равно диаметру этой полуокружности:$d = 2R = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

Теперь мы можем рассчитать расстояния $d_1, d_2, d_3$ для каждого изотопа водорода.

Расчет для иона $^1\text{H}$ (протий):
Масса иона $m_1 = m_p$.$d_1 = \frac{2}{1,10 \times 10^{-3}} \sqrt{\frac{2 \cdot (1,673 \times 10^{-27}) \cdot (1,0 \times 10^4)}{1,602 \times 10^{-19}}} \approx 1,818 \times 10^3 \cdot \sqrt{2,0886 \times 10^{-4}} \approx 1,818 \times 10^3 \cdot 0,01445 \approx 26,27 \text{ м}$

Расчет для иона $^2\text{H}$ (дейтерий):
Масса иона $m_2 = 2m_p$. Так как расстояние $d$ пропорционально квадратному корню из массы ($\sqrt{m}$), мы можем найти $d_2$ через $d_1$:$d_2 = d_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = d_1 \sqrt{\frac{2m_p}{m_p}} = d_1 \sqrt{2} \approx 26,27 \text{ м} \cdot 1,414 \approx 37,15 \text{ м}$

Расчет для иона $^3\text{H}$ (тритий):
Масса иона $m_3 = 3m_p$. Аналогично предыдущему расчету:$d_3 = d_1 \sqrt{\frac{m_3}{m_1}} = d_1 \sqrt{\frac{3m_p}{m_p}} = d_1 \sqrt{3} \approx 26,27 \text{ м} \cdot 1,732 \approx 45,50 \text{ м}$

Округлим полученные значения до трех значащих цифр, в соответствии с точностью данных в условии задачи.

Ответ: Расстояния от щели, на которых будут находиться полосы ионов водорода на фотопластинке, составляют: $d_1 \approx 26,3$ м, $d_2 \approx 37,2$ м, $d_3 \approx 45,5$ м.