Номер 1176, страница 217 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Ширина области магнитного поля: $l$
Скорость электрона: $\vec{v}$
Индукция магнитного поля: $\vec{B}$
Заряд электрона по модулю: $e$
Масса электрона: $m_e$
Условия: $\vec{v} \perp \vec{B}$, $\vec{v}$ перпендикулярен границам области.

Найти:

Угол отклонения электрона $\phi$

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как скорость электрона $\vec{v}$ перпендикулярна вектору магнитной индукции $\vec{B}$, модуль силы Лоренца равен:

$F_Л = e v B$

Эта сила всегда перпендикулярна скорости электрона, поэтому она не совершает работы и не изменяет модуль скорости. Сила Лоренца является центростремительной силой, которая заставляет электрон двигаться по дуге окружности.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила, действующая на электрон, равна:

$F_ц = m_e a_ц = \frac{m_e v^2}{R}$

где $R$ — радиус окружности траектории.

Приравнивая силу Лоренца и центростремительную силу, находим радиус траектории электрона:

$e v B = \frac{m_e v^2}{R}$

$R = \frac{m_e v}{e B}$

Электрон влетает в область поля перпендикулярно границе. Дальнейшая траектория электрона зависит от соотношения между шириной поля $l$ и радиусом траектории $R$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Ширина поля меньше или равна радиусу траектории ($l \le R$)

В этом случае электрон вылетит из поля через противоположную границу на расстоянии $l$ от точки входа. Угол отклонения $\phi$ — это угол между вектором скорости в момент вылета и первоначальным направлением.
Из геометрических соображений (рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный центром окружности, точкой вылета и проекцией точки вылета на ось, перпендикулярную границе поля) можно установить, что синус угла отклонения равен отношению ширины поля $l$ к радиусу кривизны траектории $R$.

$\sin \phi = \frac{l}{R}$

Подставим выражение для радиуса $R$:

$\sin \phi = \frac{l}{\frac{m_e v}{e B}} = \frac{l e B}{m_e v}$

Отсюда угол отклонения:

$\phi = \arcsin\left(\frac{l e B}{m_e v}\right)$

2. Ширина поля больше радиуса траектории ($l > R$)

В этом случае электрон не сможет достичь противоположной границы. Он опишет полуокружность радиуса $R$ и вылетит из магнитного поля через ту же границу, в которую влетел. Его скорость будет направлена в противоположную сторону по отношению к первоначальной скорости. Следовательно, угол отклонения составит $180^\circ$ или $\pi$ радиан.

$\phi = 180^\circ = \pi \text{ рад}$

Таким образом, итоговое решение зависит от соотношения $l$ и $R$.

Ответ: Угол $\phi$, на который отклонится электрон от первоначального направления движения, зависит от соотношения ширины магнитного поля $l$ и радиуса траектории электрона $R = \frac{m_e v}{eB}$.
1. Если $l \le R$ (то есть $l e B \le m_e v$), то электрон вылетит через противоположную границу поля, и угол отклонения будет равен $\phi = \arcsin\left(\frac{l e B}{m_e v}\right)$.
2. Если $l > R$ (то есть $l e B > m_e v$), то электрон опишет полуокружность и вылетит из поля через границу влета, развернувшись на $180^\circ$. Угол отклонения в этом случае будет равен $\phi = \pi$ радиан.