Номер 1180, страница 218 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Ионы одновалентные, $q_1 = q_2 = q$

Ускоряющая разность потенциалов одинакова, $U_1 = U_2 = U$

Магнитное поле однородное, $B_1 = B_2 = B$

$m_1 = 12 \text{ а. е. м.}$

$R_1 = 40 \text{ мм} = 0.04 \text{ м}$

$R_2 = 60 \text{ мм} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$m_2$

Решение

Когда ион проходит ускоряющую разность потенциалов $U$, электрическое поле совершает работу $A = qU$. Эта работа полностью переходит в кинетическую энергию иона $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

$qU = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда можно выразить скорость иона после ускорения:

$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Когда ион влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на него начинает действовать сила Лоренца $F_Л = qvB$. Эта сила является центростремительной, так как она всегда перпендикулярна скорости, и заставляет ион двигаться по окружности. Центростремительная сила равна $F_{цс} = \frac{mv^2}{R}$.

Приравнивая эти две силы, получаем:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого уравнения выразим радиус траектории иона:

$R = \frac{mv}{qB}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для скорости $v$:

$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2}{q^2} \frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

Так как для обоих ионов заряд $q$, ускоряющее напряжение $U$ и индукция магнитного поля $B$ одинаковы, мы можем составить отношение радиусов их траекторий.

Для первого иона: $R_1 = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_1U}{q}}$

Для второго иона: $R_2 = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_2U}{q}}$

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_2U}{q}}}{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_1U}{q}}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Чтобы найти массу второго иона $m_2$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{R_2}{R_1})^2 = \frac{m_2}{m_1}$

Отсюда:

$m_2 = m_1 \cdot (\frac{R_2}{R_1})^2$

Подставим числовые значения:

$m_2 = 12 \text{ а.е.м.} \cdot (\frac{60 \text{ мм}}{40 \text{ мм}})^2 = 12 \cdot (\frac{3}{2})^2 = 12 \cdot (1.5)^2 = 12 \cdot 2.25 = 27 \text{ а.е.м.}$

Ответ: масса второго иона $m_2 = 27$ а. е. м.