Номер 1178, страница 218 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Протон (p) и электрон (e)

Разность потенциалов: $U_p = U_e = U$

Магнитная индукция: $B_p = B_e = B$

Направление скорости перпендикулярно линиям индукции: $\vec{v} \perp \vec{B}$

Масса протона: $m_p \approx 1,672 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса электрона: $m_e \approx 9,109 \cdot 10^{-31}$ кг

Заряд протона: $q_p = e$

Заряд электрона: $q_e = -e$ (по модулю $|q_e| = e$)

Найти:

$n = \frac{R_p}{R_e}$

Решение:

1. Когда заряженная частица (протон или электрон) ускоряется в электростатическом поле с разностью потенциалов $U$, работа электрического поля переходит в кинетическую энергию частицы. По закону сохранения энергии:

$qU = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда можно выразить скорость частицы $v$, которую она приобретает после ускорения:

$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

2. Когда частица с зарядом $q$ и скоростью $v$ влетает в однородное магнитное поле с индукцией $B$ перпендикулярно линиям индукции, на нее начинает действовать сила Лоренца:

$F_Л = qvB$

Эта сила перпендикулярна скорости, поэтому она является центростремительной и заставляет частицу двигаться по окружности радиусом $R$. Второй закон Ньютона для движения по окружности:

$F_Л = \frac{mv^2}{R}$

Приравнивая два выражения для силы, получаем:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого уравнения выразим радиус кривизны траектории $R$:

$R = \frac{mv}{qB}$

3. Теперь подставим в формулу для радиуса выражение для скорости, полученное в пункте 1:

$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2}{q^2} \cdot \frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

4. Запишем выражения для радиусов траекторий протона ($R_p$) и электрона ($R_e$), учитывая, что $U$, $B$ и модуль заряда $e$ для них одинаковы.

Для протона (масса $m_p$, заряд $e$):

$R_p = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_p U}{e}}$

Для электрона (масса $m_e$, модуль заряда $e$):

$R_e = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_e U}{e}}$

5. Найдем искомое отношение $n = \frac{R_p}{R_e}$:

$n = \frac{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_p U}{e}}}{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_e U}{e}}}$

После сокращения одинаковых множителей ($1/B$, $\sqrt{2U/e}$) получаем:

$n = \frac{\sqrt{m_p}}{\sqrt{m_e}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$

6. Подставим табличные значения масс протона и электрона:

$n = \sqrt{\frac{1,672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{9,109 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{1835,5} \approx 42,84$

Ответ: радиус кривизны траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона примерно в 43 раза.