Номер 1185, страница 219 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модуль индукции магнитного поля: $B = 5,0 \text{ мТл} = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Угол между скоростью и линиями индукции: $\alpha = 30^\circ$

Модуль скорости электрона: $v = 3,0 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Масса электрона (справочное значение): $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Элементарный заряд (модуль заряда электрона, справочное значение): $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

Радиус винтовой линии $R$

Шаг винтовой линии $h$

Решение:

Когда заряженная частица, в данном случае электрон, влетает в однородное магнитное поле под углом к линиям индукции, ее движение можно разложить на два компонента. Вектор скорости $\vec{v}$ раскладывается на составляющую, параллельную магнитному полю ($v_{\parallel}$), и составляющую, перпендикулярную ему ($v_{\perp}$).

1. Движение вдоль поля: Составляющая скорости $v_{\parallel} = v \cos \alpha$ остается постоянной, так как сила Лоренца действует только на заряд, движущийся перпендикулярно линиям поля. Это приводит к равномерному прямолинейному движению вдоль поля.

2. Движение в плоскости, перпендикулярной полю: Составляющая скорости $v_{\perp} = v \sin \alpha$ приводит к движению по окружности. Сила Лоренца $F_L$ в этом случае перпендикулярна и скорости, и магнитному полю, и выполняет роль центростремительной силы $F_ц$.

Модуль силы Лоренца: $F_L = e v_{\perp} B$.

Модуль центростремительной силы: $F_ц = \frac{m_e v_{\perp}^2}{R}$.

Приравнивая эти силы ($F_L = F_ц$), получаем:

$e v_{\perp} B = \frac{m_e v_{\perp}^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус $R$ окружности, по которой движется электрон:

$R = \frac{m_e v_{\perp}}{e B} = \frac{m_e v \sin \alpha}{e B}$

Подставим числовые значения для вычисления радиуса:

$R = \frac{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3,0 \cdot 10^6 \text{ м/с}) \cdot \sin 30^\circ}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (5,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл})} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 3,0 \cdot 10^6 \cdot 0,5}{8,0 \cdot 10^{-22}} \approx 1,706 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $R \approx 1,7 \text{ мм}$.

Шаг винтовой линии $h$ — это расстояние, на которое электрон перемещается вдоль линий поля за один полный оборот. Чтобы найти его, нам нужен период обращения $T$.

Период обращения по окружности равен $T = \frac{2 \pi R}{v_{\perp}}$. Подставив выражение для $R$, получим:

$T = \frac{2 \pi}{v_{\perp}} \cdot \frac{m_e v_{\perp}}{e B} = \frac{2 \pi m_e}{e B}$

Теперь можно найти шаг винтовой линии:

$h = v_{\parallel} \cdot T = (v \cos \alpha) \cdot \frac{2 \pi m_e}{e B}$

Подставим числовые значения для вычисления шага:

$h = \frac{2 \pi \cdot (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3,0 \cdot 10^6 \text{ м/с}) \cdot \cos 30^\circ}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (5,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл})} = \frac{2 \pi \cdot 9,1 \cdot 3,0 \cdot (\sqrt{3}/2) \cdot 10^{-25}}{8,0 \cdot 10^{-22}} \approx 1,856 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $h \approx 1,9 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 1,9 \text{ см}$.

Ответ:

Радиус винтовой линии $R \approx 1,7 \text{ мм}$; шаг винтовой линии $h \approx 1,9 \text{ см}$.