Номер 1192, страница 220 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Индукция магнитного поля: $B$

Ускоряющая разность потенциалов: $U$

Площадь обкладок конденсатора: $S$

Отношение заряда электрона к его массе: $\gamma = \frac{e}{m_e}$

Электрическая постоянная: $\varepsilon_0$

Найти:

Заряд на конденсаторе: $q$

Решение:

1. Электроны, прежде чем попасть в конденсатор, ускоряются разностью потенциалов $U$. По закону сохранения энергии, работа электрического поля идет на увеличение кинетической энергии электрона. Начальную скорость считаем равной нулю.

$eU = \frac{m_e v^2}{2}$

где $e$ – заряд электрона, $m_e$ – его масса, $v$ – скорость электрона после ускорения.

Выразим скорость $v$. Разделим обе части на $m_e$:

$\frac{e}{m_e} U = \frac{v^2}{2}$

Используя данное в условии отношение $\gamma = \frac{e}{m_e}$, получаем:

$\gamma U = \frac{v^2}{2} \implies v = \sqrt{2\gamma U}$

2. Когда электрон влетает в пространство между обкладками конденсатора, на него начинает действовать сила Лоренца $F_Л$, так как он движется в магнитном поле. Скорость электрона $\vec{v}$ перпендикулярна вектору магнитной индукции $\vec{B}$, поэтому модуль силы Лоренца равен:

$F_Л = evB$

Эта сила отклоняет электроны к одной из обкладок конденсатора. В результате на одной обкладке накапливается отрицательный заряд, а на другой возникает недостаток электронов, то есть положительный заряд.

3. Накопление заряда на обкладках создает между ними электрическое поле с напряженностью $E$. Это поле действует на пролетающие электроны с электрической силой $F_э$:

$F_э = eE$

Эта сила направлена противоположно силе Лоренца.

4. Заряд будет накапливаться до тех пор, пока электрическая сила не уравновесит силу Лоренца. В этот момент электроны перестанут отклоняться и будут пролетать через конденсатор прямолинейно. Это состояние достигается через "длительное время", как указано в условии.

Условие равновесия сил:

$F_Л = F_э \implies evB = eE \implies E = vB$

5. Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе связана с зарядом $q$ на его обкладках и площадью обкладок $S$ соотношением:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$

где $\sigma$ – поверхностная плотность заряда.

6. Приравняем два выражения для напряженности $E$:

$\frac{q}{\varepsilon_0 S} = vB$

Отсюда выразим искомый заряд $q$:

$q = \varepsilon_0 S v B$

Подставим в это выражение найденную ранее скорость $v = \sqrt{2\gamma U}$:

$q = \varepsilon_0 S B \sqrt{2\gamma U}$

Ответ: $q = \varepsilon_0 S B \sqrt{2\gamma U}$