Номер 1191, страница 220 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модуль напряженности электрического поля $E = 60 \frac{кВ}{м}$
Кинетическая энергия электрона $W = 1,6 \cdot 10^{-16} \text{ Дж}$
Модуль заряда электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Масса электрона $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

$E = 60 \cdot 10^3 \frac{В}{м} = 6 \cdot 10^4 \frac{В}{м}$

Найти:

Модуль индукции магнитного поля $B$ и направление вектора $\vec{B}$.

Решение:

Для того чтобы электрон двигался прямолинейно, не испытывая отклонений, суммарная сила, действующая на него, должна быть равна нулю. На электрон в электростатическом и магнитном полях действует сила Лоренца, которая является суммой электрической силы $\vec{F}_э$ и магнитной силы $\vec{F}_Л$.

$\vec{F}_{общ} = \vec{F}_э + \vec{F}_Л = 0$

Отсюда следует, что электрическая и магнитная силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению:

$\vec{F}_э = -\vec{F}_Л$

Модуль электрической силы, действующей на электрон, равен:

$F_э = eE$

Модуль магнитной силы Лоренца:

$F_Л = evB\sin\alpha$, где $v$ – скорость электрона, а $\alpha$ – угол между векторами скорости $\vec{v}$ и магнитной индукции $\vec{B}$.

Поскольку электрон влетает в поле перпендикулярно линиям напряженности, вектор его скорости $\vec{v}$ перпендикулярен вектору напряженности $\vec{E}$. Электрическая сила $\vec{F}_э = q\vec{E}$ направлена против вектора $\vec{E}$ (так как заряд электрона $q=-e$ отрицателен) и, следовательно, тоже перпендикулярна вектору скорости $\vec{v}$.

Магнитная сила $\vec{F}_Л$ всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec{v}$. Чтобы скомпенсировать электрическую силу, магнитная сила должна быть направлена противоположно ей. Это возможно только если векторы $\vec{E}$, $\vec{v}$ и $\vec{B}$ взаимно перпендикулярны. В этом случае $\alpha = 90^\circ$, и $\sin\alpha = 1$.

Приравняем модули сил:

$eE = evB$

Отсюда выразим модуль магнитной индукции:

$B = \frac{E}{v}$

Скорость электрона $v$ найдем из формулы для кинетической энергии:

$W = \frac{m_e v^2}{2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2W}{m_e}}$

Подставим выражение для скорости в формулу для магнитной индукции:

$B = E \cdot \sqrt{\frac{m_e}{2W}}$

Выполним вычисления:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-16} \text{ Дж}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{0,352 \cdot 10^{15}} = \sqrt{3,52 \cdot 10^{14}} \approx 1,875 \cdot 10^7 \frac{м}{с}$

$B = \frac{6 \cdot 10^4 \text{ В/м}}{1,875 \cdot 10^7 \text{ м/с}} = 3,2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 3,2 \text{ мТл}$

Определим направление вектора $\vec{B}$. Условие равновесия сил $\vec{F}_э + \vec{F}_Л = 0$ с учетом выражений $ \vec{F}_э = q\vec{E} = -e\vec{E} $ и $ \vec{F}_Л = q(\vec{v} \times \vec{B}) = -e(\vec{v} \times \vec{B}) $ можно записать как:

$-e\vec{E} - e(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$

$\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B}) = \vec{B} \times \vec{v}$

Это означает, что тройка векторов $(\vec{B}, \vec{v}, \vec{E})$ должна образовывать правую тройку, то есть векторы магнитной индукции $\vec{B}$, скорости электрона $\vec{v}$ и напряженности электрического поля $\vec{E}$ должны быть взаимно перпендикулярны и ориентированы в соответствии с правилом правого винта (или правилом правой руки).

Ответ: Модуль индукции магнитного поля $B = 3,2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ должен быть перпендикулярен как вектору скорости электрона $\vec{v}$, так и вектору напряженности электрического поля $\vec{E}$, при этом тройка векторов $(\vec{B}, \vec{v}, \vec{E})$ должна быть правой.