Номер 1190, страница 220 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E = 1,0 \frac{кВ}{м} = 1,0 \cdot 10^3 \frac{В}{м}$

$B = 1,0 мТл = 1,0 \cdot 10^{-3} Тл$

Векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ взаимно перпендикулярны: $\vec{E} \perp \vec{B}$.

Частица – электрон, заряд $q = -e$.

Найти:

Направление и модуль скорости $v$ электрона.

Решение:

На электрон, движущийся в электростатическом и магнитном полях, действует суммарная сила Лоренца, которая является векторной суммой электрической силы $\vec{F_э}$ и магнитной силы $\vec{F_л}$:

$\vec{F} = \vec{F_э} + \vec{F_л} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B})$

Для того чтобы движение электрона было прямолинейным, необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на него, была равна нулю. В этом случае, согласно первому закону Ньютона, электрон будет двигаться с постоянной скоростью по прямой. Условие прямолинейного движения:

$\vec{F} = 0 \implies \vec{F_э} + \vec{F_л} = 0 \implies \vec{F_э} = -\vec{F_л}$

Это означает, что электрическая и магнитная силы должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

$F_э = F_л$

Модули этих сил определяются выражениями:

$F_э = |q|E$

$F_л = |q|vB\sin\alpha$, где $\alpha$ – угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Приравнивая модули, получаем:

$|q|E = |q|vB\sin\alpha \implies E = vB\sin\alpha$

Теперь определим необходимое направление векторов. Так как заряд электрона отрицательный ($q<0$), электрическая сила $\vec{F_э} = q\vec{E}$ направлена противоположно вектору напряженности $\vec{E}$. Следовательно, для компенсации, магнитная сила $\vec{F_л}$ должна быть направлена в ту же сторону, что и вектор $\vec{E}$.

Магнитная сила $\vec{F_л}$ по определению перпендикулярна плоскости, образованной векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$. Чтобы сила $\vec{F_л}$ была направлена вдоль $\vec{E}$, вектор $\vec{E}$ должен быть перпендикулярен этой плоскости, то есть перпендикулярен и вектору $\vec{v}$, и вектору $\vec{B}$.

По условию задачи, $\vec{E} \perp \vec{B}$. Из вышесказанного следует, что для прямолинейного движения скорость $\vec{v}$ также должна быть перпендикулярна вектору $\vec{E}$. Если бы скорость имела компоненту, параллельную $\vec{B}$, то движение было бы винтовым, а не прямолинейным. Таким образом, для обеспечения прямолинейного движения необходимо, чтобы скорость $\vec{v}$ была перпендикулярна и вектору $\vec{B}$.

Итак, для прямолинейного движения все три вектора — $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{v}$ — должны быть взаимно перпендикулярны. В этом случае угол $\alpha$ между $\vec{v}$ и $\vec{B}$ равен $90^\circ$, и $\sin\alpha = 1$.

Уравнение для модулей принимает вид:

$E = vB$

Отсюда находим модуль скорости:

$v = \frac{E}{B}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{1,0 \cdot 10^3 В/м}{1,0 \cdot 10^{-3} Тл} = 1,0 \cdot 10^6 \frac{м}{с}$

Направление скорости $\vec{v}$ должно быть перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$. Направление $\vec{v}$ должно быть таким, чтобы сила Лоренца $\vec{F_л}$ компенсировала электрическую силу $\vec{F_э}$. Направление $\vec{F_л}$ для отрицательного заряда определяется по правилу левой руки (или по правилу правой руки для векторного произведения $\vec{v} \times \vec{B}$ с последующим обращением направления). Чтобы сила $\vec{F_л}$ была направлена по $\vec{E}$, вектор скорости $\vec{v}$ должен быть направлен так же, как векторное произведение $\vec{E} \times \vec{B}$.

Ответ:

Чтобы движение электрона было прямолинейным, его скорость $\vec{v}$ должна быть перпендикулярна как вектору напряженности электростатического поля $\vec{E}$, так и вектору индукции магнитного поля $\vec{B}$. Направление вектора скорости совпадает с направлением векторного произведения $\vec{E} \times \vec{B}$. Модуль скорости должен быть равен $v = 1,0 \cdot 10^6$ м/с.