Номер 1187, страница 219 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 400 \frac{км}{с}$

$B = 1,00 \, мТл$

$\alpha = 60,0^{\circ}$

$l = 200 \, см$

Заряд электрона $e \approx 1,60 \cdot 10^{-19} \, Кл$

Масса электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \, кг$

Перевод в систему СИ:

$v = 400 \cdot 10^3 \, \frac{м}{с} = 4,00 \cdot 10^5 \, \frac{м}{с}$

$B = 1,00 \cdot 10^{-3} \, Тл$

$l = 200 \cdot 10^{-2} \, м = 2,00 \, м$

Найти:

$n$

Решение:

Когда электрон влетает в однородное магнитное поле под углом $\alpha$ к линиям индукции, его движение можно разложить на два: равномерное прямолинейное движение вдоль линий поля и равномерное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной этим линиям. В результате траектория электрона представляет собой винтовую линию (спираль).

Разложим вектор скорости $\vec{v}$ на две составляющие:

1. Параллельная линиям магнитной индукции: $v_{\parallel} = v \cos \alpha$. Эта составляющая скорости остается постоянной, так как сила Лоренца на нее не действует.

2. Перпендикулярная линиям магнитной индукции: $v_{\perp} = v \sin \alpha$. На эту составляющую действует сила Лоренца, которая сообщает электрону центростремительное ускорение и заставляет его двигаться по окружности.

Сила Лоренца $F_Л$ равна $F_Л = e v_{\perp} B$. Эта сила является центростремительной силой $F_ц = \frac{m_e v_{\perp}^2}{r}$, где $r$ — радиус окружности.

Приравняв эти силы, найдем радиус траектории: $e v_{\perp} B = \frac{m_e v_{\perp}^2}{r}$, откуда $r = \frac{m_e v_{\perp}}{eB}$.

Период одного оборота электрона по окружности (время одного витка) можно найти по формуле $T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}}$. Подставив выражение для радиуса $r$, получим:

$T = \frac{2\pi}{v_{\perp}} \cdot \frac{m_e v_{\perp}}{eB} = \frac{2\pi m_e}{eB}$

За время одного оборота $T$ электрон смещается вдоль линий магнитного поля на расстояние $h$, которое называется шагом винтовой линии:

$h = v_{\parallel} T = v \cos \alpha \cdot \frac{2\pi m_e}{eB}$

Число витков $n$, которое опишет электрон на расстоянии $l$ вдоль линий индукции, равно отношению этого расстояния к шагу винтовой линии:

$n = \frac{l}{h} = \frac{l}{v \cos \alpha \frac{2\pi m_e}{eB}} = \frac{l e B}{2\pi m_e v \cos \alpha}$

Подставим числовые значения:

$\cos 60,0^{\circ} = 0,5$

$n = \frac{2,00 \, м \cdot 1,60 \cdot 10^{-19} \, Кл \cdot 1,00 \cdot 10^{-3} \, Тл}{2\pi \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \, кг \cdot 4,00 \cdot 10^5 \, \frac{м}{с} \cdot 0,5} \approx \frac{3,20 \cdot 10^{-22}}{1,146 \cdot 10^{-24}} \approx 279,2$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $n \approx 279$.

Ответ: $n \approx 279$ витков.