Номер 1169, страница 216 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 50 \text{ см}$

$\alpha = 30°$

$I = 40 \text{ А}$

$\mu = 0,6$

$m = 1,0 \text{ кг}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,5 \text{ м}$

Найти:

$B_a$ — модуль индукции для движения вверх.

$B_b$ — модуль индукции для движения вниз.

Решение:

На стержень, лежащий на наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, сила трения $\vec{F}_{тр}$ и сила Ампера $\vec{F}_A$.

Введем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль рельсов вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно рельсам.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат для состояния равновесия на грани начала движения ($a=0$).

Проекция на ось $Oy$:

$N - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда находим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Максимальная сила трения покоя (она же сила трения скольжения) равна:

$F_{тр, max} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$

Сила Ампера, действующая на стержень, определяется по формуле:

$F_A = IBl$

Поскольку магнитное поле перпендикулярно плоскости рельсов, а ток течет по стержню (перпендикулярно рельсам), сила Ампера будет направлена вдоль рельсов (вверх или вниз по наклонной плоскости, в зависимости от направления тока и поля).

а) Стержень начинает двигаться вверх

Чтобы стержень начал двигаться вверх, сила Ампера $F_A$ должна быть направлена вверх по наклонной плоскости. При этом сила трения $F_{тр, max}$ будет направлена вниз, препятствуя движению. Условие начала движения вверх:

$F_A = mg \sin(\alpha) + F_{тр, max}$

Подставим выражения для сил:

$I B_a l = mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha)$

$I B_a l = mg (\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Выразим отсюда искомую индукцию магнитного поля $B_a$:

$B_a = \frac{mg (\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))}{Il}$

Подставим числовые значения:

$B_a = \frac{1,0 \cdot 9,8 \cdot (\sin(30°) + 0,6 \cdot \cos(30°))}{40 \cdot 0,5} = \frac{9,8 \cdot (0,5 + 0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}{20} \approx \frac{9,8 \cdot (0,5 + 0,6 \cdot 0,866)}{20}$

$B_a \approx \frac{9,8 \cdot (0,5 + 0,52)}{20} = \frac{9,8 \cdot 1,02}{20} \approx 0,4998 \text{ Тл}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $B_a \approx 0,50 \text{ Тл}.$

б) Стержень начинает двигаться вниз

Сначала проверим, будет ли стержень двигаться вниз под действием силы тяжести без магнитного поля. Условие покоя: $mg \sin(\alpha) \leq F_{тр, max}$.

$mg \sin(30°) \leq \mu mg \cos(30°)$

$\tan(30°) \leq \mu$

$0,577 \leq 0,6$

Неравенство выполняется, значит, сила трения покоя удерживает стержень на месте. Чтобы стержень начал двигаться вниз, сила Ампера $F_A$ должна быть направлена вниз, помогая скатывающей силе $mg \sin(\alpha)$. Сила трения $F_{тр, max}$ в этом случае будет направлена вверх, препятствуя движению. Условие начала движения вниз:

$mg \sin(\alpha) + F_A = F_{тр, max}$

Подставим выражения для сил:

$mg \sin(\alpha) + I B_b l = \mu mg \cos(\alpha)$

$I B_b l = \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)$

$I B_b l = mg (\mu \cos(\alpha) - \sin(\alpha))$

Выразим отсюда искомую индукцию магнитного поля $B_b$:

$B_b = \frac{mg (\mu \cos(\alpha) - \sin(\alpha))}{Il}$

Подставим числовые значения:

$B_b = \frac{1,0 \cdot 9,8 \cdot (0,6 \cdot \cos(30°) - \sin(30°))}{40 \cdot 0,5} = \frac{9,8 \cdot (0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0,5)}{20} \approx \frac{9,8 \cdot (0,6 \cdot 0,866 - 0,5)}{20}$

$B_b \approx \frac{9,8 \cdot (0,52 - 0,5)}{20} = \frac{9,8 \cdot 0,02}{20} = 0,0098 \text{ Тл}$

Ответ: $B_b \approx 0,0098 \text{ Тл}.$