Номер 1651, страница 301 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса α-частицы: $m_α$
Масса протона: $m_p$ (приближенно равна массе атома водорода)
Начальная скорость атома водорода: $v_H = 0$
Минимальная энергия ионизации атома водорода: $E_0$
Соударение является абсолютно неупругим.

Найти:

Минимальное значение модуля начальной скорости α-частицы: $v_{α, min}$
Минимальное значение начальной энергии α-частицы: $E_{α, min}$

Решение:

Задача описывает абсолютно неупругое соударение α-частицы с неподвижным атомом водорода. При таком соударении выполняется закон сохранения импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию системы, в данном случае — в энергию, необходимую для ионизации атома водорода.

Запишем закон сохранения импульса для системы «α-частица + атом водорода». Массу атома водорода можно считать равной массе протона $m_p$, пренебрегая массой электрона. Пусть $v_α$ — начальная скорость α-частицы, а $u$ — скорость образовавшейся составной частицы (ион гелия + протон) после соударения. В проекции на начальное направление движения:

$m_α v_α + m_p \cdot 0 = (m_α + m_p) u$

Отсюда скорость составной частицы:

$u = \frac{m_α v_α}{m_α + m_p}$

Теперь запишем закон сохранения энергии. Начальная энергия системы — это кинетическая энергия α-частицы. Конечная энергия — это кинетическая энергия составной частицы плюс энергия, пошедшая на ионизацию атома $E_0$. Минимальная начальная энергия α-частицы соответствует случаю, когда вся потеря механической энергии идет ровно на ионизацию.

$E_{k, нач} = E_{k, кон} + E_0$

$\frac{m_α v_α^2}{2} = \frac{(m_α + m_p) u^2}{2} + E_0$

Подставим в это уравнение выражение для скорости $u$:

$\frac{m_α v_α^2}{2} = \frac{(m_α + m_p)}{2} \left( \frac{m_α v_α}{m_α + m_p} \right)^2 + E_0$

$\frac{m_α v_α^2}{2} = \frac{m_α^2 v_α^2}{2(m_α + m_p)} + E_0$

Потеря кинетической энергии $\Delta E_k$ как раз равна $E_0$:

$E_0 = \Delta E_k = \frac{m_α v_α^2}{2} - \frac{m_α^2 v_α^2}{2(m_α + m_p)} = \frac{v_α^2}{2} \left( m_α - \frac{m_α^2}{m_α + m_p} \right)$

$E_0 = \frac{v_α^2}{2} \left( \frac{m_α(m_α + m_p) - m_α^2}{m_α + m_p} \right) = \frac{v_α^2}{2} \frac{m_α m_p}{m_α + m_p}$

Из последнего выражения мы можем найти искомую скорость $v_α$ и энергию $E_α$.

Минимальные значения модуля начальной скорости $v_α$
Выразим $v_α^2$ из полученной формулы: $v_α^2 = \frac{2 E_0 (m_α + m_p)}{m_α m_p}$. Тогда минимальная начальная скорость α-частицы равна:
Ответ: $v_{α, min} = \sqrt{\frac{2 E_0 (m_α + m_p)}{m_α m_p}}$

Минимальные значения энергии $E_α$
Начальная кинетическая энергия α-частицы $E_α$ равна $E_α = \frac{m_α v_α^2}{2}$. Подставим в это выражение найденное значение для $v_α^2$: $E_{α, min} = \frac{m_α}{2} \left( \frac{2 E_0 (m_α + m_p)}{m_α m_p} \right) = E_0 \frac{m_α + m_p}{m_p}$.
Ответ: $E_{α, min} = E_0 \frac{m_α + m_p}{m_p}$