Номер 1648, страница 300 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина волны фотона, $\lambda = 90$ нм

Номер боровской орбиты, с которой выбивается электрон, $n = 2$

Модуль индукции магнитного поля, $B = 5,0$ Тл

Линии индукции перпендикулярны скорости электрона

Справочные данные:

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \times 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c \approx 3,00 \times 10^8$ м/с

Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \times 10^{-31}$ кг

Модуль заряда электрона, $e \approx 1,60 \times 10^{-19}$ Кл

Энергия ионизации атома водорода из основного состояния, $E_0 \approx 13,6$ эВ

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 90 \text{ нм} = 90 \times 10^{-9} \text{ м} = 9,0 \times 10^{-8}$ м

$E_0 = 13,6 \text{ эВ} \approx 13,6 \times 1,60 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,18 \times 10^{-18}$ Дж

Найти:

Радиус орбиты электрона в магнитном поле, $r$

Решение:

1. Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, энергия поглощенного фотона $E_{ф}$ идет на совершение работы выхода $A_{вых}$ (в данном случае это энергия ионизации со второго уровня) и на сообщение электрону кинетической энергии $E_k$:

$E_{ф} = A_{вых} + E_k$

2. Энергия фотона связана с его длиной волны $\lambda$ соотношением:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

3. Энергия, необходимая для отрыва электрона от атома водорода со второй боровской орбиты ($n=2$), равна модулю энергии электрона на этом уровне. Энергия электрона на $n$-ой орбите определяется формулой:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$

где $E_0$ – энергия ионизации из основного состояния. Тогда работа выхода:

$A_{вых} = |E_2| = \frac{E_0}{2^2} = \frac{E_0}{4}$

4. Из уравнения фотоэффекта выразим кинетическую энергию электрона, которую он получит после вылета из атома:

$E_k = E_{ф} - A_{вых} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{E_0}{4}$

5. Электрон, влетевший в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, движется по окружности под действием силы Лоренца $F_Л$, которая является центростремительной силой $F_ц$.

$F_Л = F_ц$

$evB = \frac{m_e v^2}{r}$

где $v$ - скорость электрона, $r$ - радиус его орбиты. Из этого уравнения выражаем радиус:

$r = \frac{m_e v}{eB}$

6. Кинетическая энергия электрона связана с его скоростью как $E_k = \frac{m_e v^2}{2}$. Отсюда можно выразить импульс электрона $p = m_e v = \sqrt{2m_e E_k}$. Подставим это в формулу для радиуса:

$r = \frac{\sqrt{2m_e E_k}}{eB}$

7. Подставим в полученную формулу выражение для кинетической энергии:

$r = \frac{1}{eB} \sqrt{2m_e \left(\frac{hc}{\lambda} - \frac{E_0}{4}\right)}$

8. Выполним вычисления. Сначала определим числовые значения энергий:

$E_{ф} = \frac{6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3,00 \times 10^8 \text{ м/с}}{9,0 \times 10^{-8} \text{ м}} \approx 2,21 \times 10^{-18}$ Дж

$A_{вых} = \frac{2,18 \times 10^{-18} \text{ Дж}}{4} \approx 0,545 \times 10^{-18}$ Дж

Кинетическая энергия электрона:

$E_k = 2,21 \times 10^{-18} \text{ Дж} - 0,545 \times 10^{-18} \text{ Дж} = 1,665 \times 10^{-18}$ Дж

9. Теперь рассчитаем радиус орбиты:

$r = \frac{\sqrt{2 \cdot 9,11 \times 10^{-31} \text{ кг} \cdot 1,665 \times 10^{-18} \text{ Дж}}}{1,60 \times 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5,0 \text{ Тл}} = \frac{\sqrt{3,032 \times 10^{-48}}}{8,0 \times 10^{-19}} \text{ м}$

$r \approx \frac{1,74 \times 10^{-24}}{8,0 \times 10^{-19}} \text{ м} \approx 0,218 \times 10^{-5} \text{ м} \approx 2,18 \times 10^{-6}$ м

Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $r \approx 2,2 \times 10^{-6}$ м, что равно 2,2 мкм.

Ответ: $r \approx 2,2$ мкм.