Номер 1644, страница 300 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода переходит из начального стационарного состояния 1 в конечное состояние 2.

$r_1$ — радиус боровской орбиты в начальном состоянии.

$r_2$ — радиус боровской орбиты в конечном состоянии.

$\omega_1$ — угловая скорость электрона в начальном состоянии.

$\omega_2$ — угловая скорость электрона в конечном состоянии.

$\frac{r_1}{r_2} = 4$

Найти:

$\frac{\omega_2}{\omega_1}$

Решение:

Согласно теории Бора для атома водорода, радиус стационарной орбиты $r_n$ и угловая скорость $\omega_n$ электрона на этой орбите зависят от главного квантового числа $n$.

Радиус n-ой боровской орбиты определяется формулой:

$r_n = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m_e e^2} n^2$

Из этой формулы видно, что радиус орбиты прямо пропорционален квадрату главного квантового числа: $r_n \propto n^2$.

Угловая скорость $\omega_n$ связана с линейной скоростью $v_n$ и радиусом $r_n$ соотношением $\omega_n = \frac{v_n}{r_n}$.

Линейная скорость электрона на n-ой орбите, согласно теории Бора, определяется выражением:

$v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar} \frac{1}{n}$

Отсюда следует, что линейная скорость обратно пропорциональна главному квантовому числу: $v_n \propto \frac{1}{n}$.

Теперь найдем зависимость угловой скорости от главного квантового числа:

$\omega_n = \frac{v_n}{r_n} \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$

Таким образом, угловая скорость обратно пропорциональна кубу главного квантового числа.

Используем условие задачи об изменении радиуса. Пусть начальное состояние характеризуется квантовым числом $n_1$, а конечное — $n_2$. Тогда:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{k \cdot n_1^2}{k \cdot n_2^2} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2$

По условию $\frac{r_1}{r_2} = 4$, следовательно:

$\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 = 4 \implies \frac{n_1}{n_2} = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем искомое отношение угловых скоростей:

$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{C/n_2^3}{C/n_1^3} = \frac{n_1^3}{n_2^3} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^3$

Подставим найденное отношение квантовых чисел:

$\frac{\omega_2}{\omega_1} = (2)^3 = 8$

Ответ: Модуль угловой скорости увеличивается в 8 раз.