Номер 1640, страница 299 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода.

Электрон находится на второй боровской орбите, то есть главное квантовое число $n=2$.

Справочные данные (в системе СИ):

Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Элементарный заряд: $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Электрическая постоянная: $\epsilon_0 \approx 8.854 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.

Энергия ионизации атома водорода (постоянная Ридберга в единицах энергии): $R_E = |E_1| \approx 2.18 \cdot 10^{-18}$ Дж.

Найти:

Частоту обращения электрона $\nu$.

Решение:

Частота обращения электрона $\nu_n$ на стационарной орбите радиусом $r_n$ при движении со скоростью $v_n$ определяется как отношение скорости к длине окружности орбиты:

$\nu_n = \frac{v_n}{2\pi r_n}$

Согласно модели атома Бора, радиус $n$-й орбиты $r_n$ и скорость электрона $v_n$ на ней для атома водорода выражаются формулами:

$r_n = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m_e e^2}$

$v_n = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n}$

Подставим выражения для $v_n$ и $r_n$ в формулу для частоты:

$\nu_n = \frac{e^2 / (2\epsilon_0 h n)}{2\pi (\epsilon_0 h^2 n^2 / (\pi m_e e^2))} = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n} \cdot \frac{\pi m_e e^2}{2\pi \epsilon_0 h^2 n^2} = \frac{m_e e^4}{4\epsilon_0^2 h^3 n^3}$

Данную формулу можно упростить, выразив ее через энергию основного состояния атома водорода $E_1$, которая по модулю равна постоянной Ридберга $R_E$:

$R_E = |E_1| = \frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}$

Тогда выражение для частоты принимает вид:

$\nu_n = \frac{2}{h n^3} \cdot \left(\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\right) = \frac{2R_E}{h n^3}$

В задаче требуется найти частоту на второй боровской орбите, то есть при $n=2$. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\nu_2 = \frac{2 \cdot (2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж})}{(6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}) \cdot 2^3} = \frac{4.36 \cdot 10^{-18}}{6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 8} = \frac{4.36 \cdot 10^{-18}}{53.008 \cdot 10^{-34}} \approx 0.08225 \cdot 10^{16} \text{ Гц}$

Таким образом, частота обращения электрона составляет:

$\nu_2 \approx 8.23 \cdot 10^{14}$ Гц

Ответ: частота обращения электрона в атоме водорода на второй боровской орбите составляет примерно $8.23 \cdot 10^{14}$ Гц.