Номер 1639, страница 299 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода, электрон находится на первой боровской орбите ($n=1$).

Используем следующие константы:

Масса электрона: $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Элементарный заряд: $e = 1.60 \times 10^{-19}$ Кл

Редуцированная постоянная Планка: $\hbar = 1.054 \times 10^{-34}$ Дж·с

Коэффициент в законе Кулона: $k = 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Период обращения электрона $T$

Модуль угловой скорости электрона $\omega$

Решение:

Период T обращения электрона

В модели атома Бора, электрон движется по круговой орбите вокруг ядра. Центростремительная сила, действующая на электрон, создается кулоновской силой притяжения к ядру. По второму закону Ньютона:

$ \frac{m_e v^2}{r} = k \frac{e^2}{r^2} \quad (1) $

Согласно постулату Бора, момент импульса электрона квантован:

$ m_e v r = n \hbar \quad (2) $

где $n$ — главное квантовое число, для первой орбиты $n=1$.

Из уравнения (2) выразим скорость $v = \frac{n \hbar}{m_e r}$ и подставим в уравнение (1):

$ \frac{m_e}{r} \left(\frac{n \hbar}{m_e r}\right)^2 = k \frac{e^2}{r^2} $

Из этого уравнения найдем радиус $n$-ой орбиты:

$ r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e k e^2} $

Для первой орбиты ($n=1$), радиус (боровский радиус) равен:

$ r_1 = \frac{1^2 \cdot (1.054 \times 10^{-34})^2}{9.11 \times 10^{-31} \cdot 9 \times 10^9 \cdot (1.60 \times 10^{-19})^2} \approx 5.29 \times 10^{-11} \text{ м} $

Скорость электрона на первой орбите найдем из уравнения (2):

$ v_1 = \frac{\hbar}{m_e r_1} = \frac{1.054 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \cdot 5.29 \times 10^{-11}} \approx 2.19 \times 10^6 \text{ м/с} $

Период обращения $T$ — это время полного оборота по орбите, равное отношению длины окружности к скорости:

$ T = \frac{2\pi r}{v} $

Для первой орбиты:

$ T_1 = \frac{2\pi r_1}{v_1} = \frac{2\pi \cdot 5.29 \times 10^{-11} \text{ м}}{2.19 \times 10^6 \text{ м/с}} \approx 1.52 \times 10^{-16} \text{ с} $

Ответ: $T \approx 1.52 \times 10^{-16}$ с.

Модуль его угловой скорости ω

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $T$ соотношением:

$ \omega = \frac{2\pi}{T} $

Подставим найденное значение периода $T_1$:

$ \omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{1.52 \times 10^{-16} \text{ с}} \approx 4.13 \times 10^{16} \text{ рад/с} $

Также угловую скорость можно найти через линейную скорость и радиус: $\omega = v/r$.

$ \omega_1 = \frac{v_1}{r_1} = \frac{2.19 \times 10^6 \text{ м/с}}{5.29 \times 10^{-11} \text{ м}} \approx 4.14 \times 10^{16} \text{ рад/с} $

Небольшое расхождение в результатах вызвано округлением промежуточных вычислений. Первый метод, использующий меньше промежуточных округлений, является более точным.

Ответ: $\omega \approx 4.13 \times 10^{16}$ рад/с.