Номер 1635, страница 299 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода в основном состоянии, $n_1 = 1$
Количество линий в спектре излучения, $N = 3$
Масса электрона, $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Энергия ионизации атома водорода, $E_0 = 13.6$ эВ
Элементарный заряд, $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:
Энергия ионизации: $E_0 = 13.6 \text{ эВ} = 13.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 2.176 \cdot 10^{-18}$ Дж

Найти:

$v$ - наименьшая скорость электрона

Решение:

Когда атом, возбужденный до энергетического уровня с главным квантовым числом $n$, переходит в основное состояние, максимальное число различных спектральных линий, которые могут наблюдаться, определяется по формуле:

$N = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию задачи, в спектре наблюдаются три различные линии, то есть $N=3$. Подставим это значение в формулу и найдем, до какого уровня $n$ был возбужден атом водорода:

$3 = \frac{n(n-1)}{2}$

$6 = n(n-1)$

$n^2 - n - 6 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни $n_1 = 3$ и $n_2 = -2$. Так как главное квантовое число не может быть отрицательным, то атом был возбужден до уровня $n=3$.

Электрон при соударении отдает всю свою кинетическую энергию $K$ атому водорода, переводя его из основного состояния ($n_1=1$) в возбужденное состояние ($n=3$). Энергия, необходимая для такого перехода, равна разности энергий этих состояний:

$\Delta E = E_3 - E_1$

Энергия атома водорода на $n$-ом уровне определяется формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $E_0$ – энергия ионизации (энергия основного состояния со знаком минус).

Энергия в основном состоянии ($n=1$): $E_1 = -\frac{E_0}{1^2} = -E_0$.

Энергия в возбужденном состоянии ($n=3$): $E_3 = -\frac{E_0}{3^2} = -\frac{E_0}{9}$.

Тогда энергия возбуждения равна:

$\Delta E = E_3 - E_1 = (-\frac{E_0}{9}) - (-E_0) = E_0 - \frac{E_0}{9} = \frac{8}{9}E_0$

Эта энергия равна кинетической энергии электрона до соударения:

$K = \frac{m_e v^2}{2} = \Delta E = \frac{8}{9}E_0$

Отсюда выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{16 E_0}{9 m_e}$

$v = \sqrt{\frac{16 E_0}{9 m_e}} = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{E_0}{m_e}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{2.176 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \frac{4}{3}\sqrt{2.388 \cdot 10^{12} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx \frac{4}{3} \cdot 1.545 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2.06 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v \approx 2.06 \cdot 10^6$ м/с.