Номер 1633, страница 299 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Первый переход (излучение): $n_{i1} = 2 \rightarrow n_{f1} = 1$ (основное состояние)

Длина волны излученного фотона: $λ_1$

Второй переход (поглощение): $n_{i2} = 2 \rightarrow n_{f2} = n_2$

Длина волны поглощенного фотона: $λ_2$

Соотношение длин волн: $k = \frac{λ_2}{λ_1} = 4$

Найти:

$n_2$

Решение:

Для определения длины волны излучения при переходе электрона в атоме водорода с одного энергетического уровня на другой используется обобщенная формула Бальмера (формула Ридберга):

$\frac{1}{λ} = R \left| \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right|$

где $R$ — постоянная Ридберга, $n_i$ и $n_f$ — главные квантовые числа начального и конечного состояний соответственно.

1. Для первого процесса (излучение) атом переходит из состояния $n_{i1} = 2$ в основное состояние $n_{f1} = 1$. Длина волны излученного фотона $λ_1$ определяется как:

$\frac{1}{λ_1} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$

2. Для второго процесса (поглощение) атом переходит из состояния $n_{i2} = 2$ в более высокое возбужденное состояние $n_{f2} = n_2$ (поскольку энергия поглощается, $n_2 > 2$). Длина волны поглощенного фотона $λ_2$ равна:

$\frac{1}{λ_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_2^2} \right)$

3. Из условия задачи известно, что $λ_2 = 4λ_1$. Это эквивалентно соотношению $\frac{1}{λ_2} = \frac{1}{4λ_1}$.

Подставим выражения для $\frac{1}{λ_1}$ и $\frac{1}{λ_2}$ в это соотношение:

$R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3R}{4} \right)$

4. Решим полученное уравнение относительно $n_2$. Сократим постоянную Ридберга $R$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{n_2^2} = \frac{3}{16}$

Выразим $\frac{1}{n_2^2}$:

$\frac{1}{n_2^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 16:

$\frac{1}{n_2^2} = \frac{4}{16} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16}$

Отсюда следует, что $n_2^2 = 16$.

Так как $n_2$ является главным квантовым числом, оно должно быть положительным целым числом. Следовательно, извлекаем квадратный корень:

$n_2 = 4$

Ответ: номер возбужденного состояния $n_2$ равен 4.