Номер 1636, страница 299 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода
Переходы на первый энергетический уровень, $n_f = 1$
Постоянная Ридберга, $R \approx 1.097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}$
Энергия ионизации атома водорода, $E_0 = 13.6 \, \text{эВ}$
Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}$
Элементарный заряд, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}$

$E_0 = 13.6 \, \text{эВ} = 13.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Дж} = 2.176 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}$

Найти:

$\lambda_{max} - ?$
$v - ?$

Решение:

1. Определение наибольшей длины волны $\lambda_{max}$

Ультрафиолетовая область спектра излучения атома водорода соответствует серии Лаймана, в которой происходят переходы электронов с возбужденных энергетических уровней ($n_i > 1$) на основной уровень ($n_f = 1$). Длина волны излучаемого фотона определяется обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

Наибольшая длина волны $\lambda_{max}$ соответствует переходу с наименьшей разностью энергий. Для серии Лаймана такой переход происходит с ближайшего, второго энергетического уровня ($n_i = 2$) на первый ($n_f = 1$).

Подставим значения $n_f=1$ и $n_i=2$ в формулу:

$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4}R$

Отсюда выражаем и вычисляем $\lambda_{max}$:

$\lambda_{max} = \frac{4}{3R} = \frac{4}{3 \cdot 1.097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}} \approx 1.215 \cdot 10^{-7} \, \text{м} = 121.5 \, \text{нм}$

Ответ: наибольшая длина волны в ультрафиолетовой области спектра атома водорода составляет $121.5 \, \text{нм}$.

2. Определение модуля наименьшей скорости электрона $v$

Чтобы атом водорода, находящийся в основном состоянии ($n=1$), мог испустить фотон при переходе $2 \rightarrow 1$, его необходимо предварительно возбудить, то есть перевести в состояние с $n=2$. При столкновении с электроном минимальная кинетическая энергия, которую должен иметь электрон, должна быть равна энергии возбуждения атома $\Delta E$ для перехода с первого на второй уровень.

Энергия электрона на $n$-ом уровне в атоме водорода определяется формулой:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $E_0 = 13.6 \, \text{эВ}$

Энергия возбуждения $\Delta E$ равна разности энергий уровней:

$\Delta E = E_2 - E_1 = \left(-\frac{E_0}{2^2}\right) - \left(-\frac{E_0}{1^2}\right) = E_0 \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}E_0$

Вычислим значение этой энергии:

$\Delta E = \frac{3}{4} \cdot 13.6 \, \text{эВ} = 10.2 \, \text{эВ}$

Кинетическая энергия электрона $K_e$ связана с его скоростью $v$ соотношением $K_e = \frac{m_e v^2}{2}$. Приравнивая минимальную кинетическую энергию к энергии возбуждения, получаем:

$\frac{m_e v^2}{2} = \Delta E$

Отсюда выражаем и вычисляем скорость $v$, предварительно переведя энергию $\Delta E$ в систему СИ (Джоули):

$\Delta E = 10.2 \, \text{эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \, \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} = 1.632 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}$

$v = \sqrt{\frac{2 \Delta E}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.632 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}}{9.11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}}} \approx \sqrt{3.58 \cdot 10^{12} \, \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 1.89 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль наименьшей скорости, которую должен иметь электрон, равен $1.89 \cdot 10^6 \, \text{м/с}$.