Номер 1641, страница 299 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода.

Электрон находится на первой боровской орбите, $n=1$.

Фундаментальные константы в системе СИ:

Заряд электрона: $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Масса электрона: $m_e \approx 9.109 \times 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с

Электрическая постоянная: $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}$ Ф/м

Энергия основного состояния атома водорода: $E_1 \approx -13.6$ эВ

Коэффициент перевода единиц: $1 \text{ эВ} \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Дж

Найти:

Потенциальную энергию $E_п$, кинетическую энергию $E_к$, полную энергию $E$.

Решение:

Полная энергия электрона на $n$-ой орбите в атоме водорода согласно модели Бора определяется формулой: $E_n = -\frac{1}{n^2} \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}$

Для первой боровской орбиты, или основного состояния, главное квантовое число $n=1$. Значение энергии для этого состояния является известной константой и составляет: $E = E_1 = -13.6 \text{ эВ}$

Для нахождения кинетической и потенциальной энергий воспользуемся соотношениями, вытекающими из модели Бора. Электрон движется по круговой орбите, и кулоновская сила притяжения к ядру сообщает ему центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона: $F_{\text{кул}} = F_{\text{цс}}$

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

Из этого уравнения можно выразить кинетическую энергию $E_к = \frac{1}{2} m_e v^2$: $m_e v^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r}$, следовательно, $E_к = \frac{1}{2} m_e v^2 = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r}$

Потенциальная энергия электрона в электростатическом поле ядра (протона) равна: $E_п = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r}$

Полная энергия $E$ является суммой кинетической и потенциальной энергий: $E = E_к + E_п = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r} - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r} = -\frac{1}{8\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r}$

Сравнивая выражения для $E_к$, $E_п$ и $E$, получаем важные соотношения (которые также следуют из теоремы о вириале для кулоновского поля): $E_к = -E$ $E_п = 2E$

Используя эти соотношения и известное значение полной энергии $E$, найдем $E_п$ и $E_к$. Для удобства проведем расчеты в электрон-вольтах (эВ) и затем переведем в джоули (Дж).

Потенциальная энергия $E_п$

$E_п = 2E = 2 \times (-13.6 \text{ эВ}) = -27.2 \text{ эВ}$

Переведем в джоули: $E_п = -27.2 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx -4.358 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

Ответ: $E_п = -27.2 \text{ эВ} \approx -4.36 \times 10^{-18} \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия $E_к$

$E_к = -E = -(-13.6 \text{ эВ}) = 13.6 \text{ эВ}$

Переведем в джоули: $E_к = 13.6 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 2.179 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

Ответ: $E_к = 13.6 \text{ эВ} \approx 2.18 \times 10^{-18} \text{ Дж}$.

Полная энергия $E$

Полная энергия электрона на первой боровской орбите, как было указано в начале решения, составляет: $E = -13.6 \text{ эВ}$

В джоулях: $E = -13.6 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx -2.179 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

Ответ: $E = -13.6 \text{ эВ} \approx -2.18 \times 10^{-18} \text{ Дж}$.