Номер 1645, страница 300 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E_{k2} = 16 E_{k1}$

где $E_{k1}$ и $E_{k2}$ — кинетические энергии электрона в атоме водорода в начальном и конечном стационарных состояниях, соответственно.

Найти:

$\frac{r_1}{r_2}$ — отношение радиусов боровских орбит в начальном и конечном состояниях.

Решение:

В модели атома Бора электрон движется по круговой орбите вокруг ядра. Кулоновская сила притяжения электрона к ядру создает центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности. Запишем второй закон Ньютона для электрона:

$F_{кул} = F_{цс}$

$\frac{k e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

где $k$ — электрическая постоянная, $e$ — элементарный заряд, $r$ — радиус орбиты, $m_e$ — масса электрона, $v$ — его скорость.

Из этого уравнения можно выразить величину $m_e v^2$:

$m_e v^2 = \frac{k e^2}{r}$

Кинетическая энергия электрона $E_k$ определяется по формуле:

$E_k = \frac{1}{2} m_e v^2$

Подставим в эту формулу выражение для $m_e v^2$, полученное ранее:

$E_k = \frac{1}{2} \frac{k e^2}{r}$

Это соотношение показывает, что кинетическая энергия электрона на боровской орбите обратно пропорциональна радиусу этой орбиты. То есть, чем меньше радиус орбиты, тем больше кинетическая энергия электрона.

Запишем это выражение для двух стационарных состояний: начального (с радиусом $r_1$ и кинетической энергией $E_{k1}$) и конечного (с радиусом $r_2$ и кинетической энергией $E_{k2}$):

$E_{k1} = \frac{k e^2}{2r_1}$

$E_{k2} = \frac{k e^2}{2r_2}$

По условию задачи, кинетическая энергия увеличилась в 16 раз при переходе из состояния 1 в состояние 2:

$E_{k2} = 16 E_{k1}$

Подставим в это равенство выражения для $E_{k1}$ и $E_{k2}$:

$\frac{k e^2}{2r_2} = 16 \cdot \frac{k e^2}{2r_1}$

Сократим одинаковый множитель $\frac{k e^2}{2}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{r_2} = \frac{16}{r_1}$

Из этого соотношения выразим отношение $\frac{r_1}{r_2}$, которое и покажет, во сколько раз уменьшился радиус:

$\frac{r_1}{r_2} = 16$

Ответ: радиус боровской орбиты уменьшится в 16 раз.