Номер 1643, страница 300 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода в основном состоянии ($n_1 = 1$)

Радиус первой боровской орбиты: $r_1 = 0,530 \cdot 10^{-10}$ м

Длина волны поглощенного фотона: $\lambda = 121$ нм

Постоянная Ридберга: $R \approx 1,097 \cdot 10^7$ м⁻¹

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 121 \text{ нм} = 121 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Радиус боровской орбиты возбужденного атома $r$

Решение:

Когда атом водорода поглощает фотон, его электрон переходит с более низкого энергетического уровня на более высокий. В задаче атом находится в основном состоянии, что соответствует главному квантовому числу $n_1 = 1$. После поглощения фотона он переходит в возбужденное состояние с главным квантовым числом $n_2$.

Длина волны фотона, участвующего в переходе между уровнями, описывается обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$

Здесь $R$ – постоянная Ридберга, $n_1$ – номер начального уровня, $n_2$ – номер конечного уровня.

Подставим известные значения ($n_1 = 1$, $\lambda = 121 \cdot 10^{-9}$ м, $R \approx 1,097 \cdot 10^7$ м⁻¹) и найдем $n_2$:

$\frac{1}{121 \cdot 10^{-9}} = 1,097 \cdot 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$

$8,264 \cdot 10^6 \approx 1,097 \cdot 10^7 \left( 1 - \frac{1}{n_2^2} \right)$

Выразим скобку:

$1 - \frac{1}{n_2^2} = \frac{8,264 \cdot 10^6}{1,097 \cdot 10^7} \approx 0,753$

Отсюда найдем $\frac{1}{n_2^2}$:

$\frac{1}{n_2^2} = 1 - 0,753 = 0,247$

Тогда $n_2^2 = \frac{1}{0,247} \approx 4,05$.

Поскольку главное квантовое число $n_2$ может быть только целым, округляем полученное значение до ближайшего целого квадрата: $n_2^2 = 4$. Следовательно, $n_2 = 2$. Атом перешел на второй энергетический уровень.

Радиус $n$-й боровской орбиты для атома водорода вычисляется по формуле:

$r_n = r_1 \cdot n^2$

где $r_1$ – радиус первой орбиты (боровский радиус).

Для возбужденного состояния с $n=2$ радиус орбиты $r$ будет равен:

$r = r_2 = r_1 \cdot 2^2 = 4 \cdot r_1$

Подставим числовое значение $r_1$:

$r = 4 \cdot (0,530 \cdot 10^{-10} \text{ м}) = 2,12 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: радиус боровской орбиты возбужденного атома равен $2,12 \cdot 10^{-10}$ м.