Номер 1638, страница 299 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода ($Z=1$)

Номера орбит (главные квантовые числа): $n_1=1$, $n_2=2$, $n_3=3$.

Фундаментальные константы в системе СИ:

Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Элементарный заряд: $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с

Приведенная постоянная Планка: $\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.054 \times 10^{-34}$ Дж·с

Электрическая постоянная: $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}$ Ф/м

Найти:

Радиусы первых трех орбит: $r_1, r_2, r_3$

Модули скоростей электрона на этих орбитах: $v_1, v_2, v_3$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся постулатами Бора для атома водорода. Согласно модели Бора, радиус стационарной орбиты и скорость электрона на ней квантуются и зависят от главного квантового числа $n$.

Радиусы $r_1, r_2, r_3$

Радиус n-й боровской орбиты для атома водорода ($Z=1$) определяется формулой:

$r_n = \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2 = a_0 n^2$

где $a_0$ — радиус первой боровской орбиты, также известный как боровский радиус.

1. Вычислим радиус первой орбиты ($n=1$):

$r_1 = a_0 = \frac{4 \pi (8.854 \times 10^{-12}) (1.054 \times 10^{-34})^2}{9.11 \times 10^{-31} \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2} \approx 5.29 \times 10^{-11}$ м.

2. Вычислим радиус второй орбиты ($n=2$):

$r_2 = a_0 \cdot 2^2 = 4 a_0 = 4 \cdot 5.29 \times 10^{-11} \approx 2.12 \times 10^{-10}$ м.

3. Вычислим радиус третьей орбиты ($n=3$):

$r_3 = a_0 \cdot 3^2 = 9 a_0 = 9 \cdot 5.29 \times 10^{-11} \approx 4.76 \times 10^{-10}$ м.

Модули скоростей $v_1, v_2, v_3$

Скорость электрона на n-й боровской орбите для атома водорода ($Z=1$) определяется формулой:

$v_n = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar n}$

1. Вычислим скорость электрона на первой орбите ($n=1$):

$v_1 = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{4 \pi (8.854 \times 10^{-12}) (1.054 \times 10^{-34})} \approx 2.19 \times 10^6$ м/с.

2. Вычислим скорость электрона на второй орбите ($n=2$):

$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{2.19 \times 10^6}{2} \approx 1.095 \times 10^6$ м/с $\approx 1.10 \times 10^6$ м/с.

3. Вычислим скорость электрона на третьей орбите ($n=3$):

$v_3 = \frac{v_1}{3} = \frac{2.19 \times 10^6}{3} \approx 0.73 \times 10^6$ м/с.

Ответ:

Радиусы первых трех боровских орбит в атоме водорода равны:

$r_1 \approx 5.29 \times 10^{-11}$ м;

$r_2 \approx 2.12 \times 10^{-10}$ м;

$r_3 \approx 4.76 \times 10^{-10}$ м.

Модули скоростей электрона на этих орбитах равны:

$v_1 \approx 2.19 \times 10^6$ м/с;

$v_2 \approx 1.10 \times 10^6$ м/с;

$v_3 \approx 0.73 \times 10^6$ м/с.