Номер 1647, страница 300 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Энергия ионизации атома водорода $E_и = 13,6$ эВ.

Атом-мишень неподвижен, $v_2=0$.

Оба атома первоначально находятся в невозбужденном (основном) состоянии.

В системе СИ:

$E_и = 13,6 \text{ эВ} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 21,79 \cdot 10^{-19}$ Дж.

Найти:

Минимальную кинетическую энергию налетающего атома $E_{k_{min}}$.

Решение:

Для того чтобы в результате столкновения мог излучиться фотон, необходимо, чтобы хотя бы один из атомов водорода перешел в возбужденное состояние. Это означает, что часть кинетической энергии сталкивающихся атомов должна перейти в их внутреннюю энергию.

Энергетические уровни атома водорода определяются формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_и}{n^2}$, где $n = 1, 2, 3, ...$ – главное квантовое число.

В невозбужденном состоянии атом находится на основном уровне с $n=1$. Его энергия $E_1 = -\frac{13,6}{1^2} = -13,6$ эВ.

Минимальная энергия возбуждения $\Delta E$ соответствует переходу атома с основного уровня ($n=1$) на первый возбужденный уровень ($n=2$). Энергия первого возбужденного уровня:

$E_2 = -\frac{13,6}{2^2} = -\frac{13,6}{4} = -3,4$ эВ.

Минимальная энергия, необходимая для возбуждения атома:

$\Delta E = E_2 - E_1 = (-3,4 \text{ эВ}) - (-13,6 \text{ эВ}) = 10,2$ эВ.

Рассмотрим столкновение двух атомов водорода с одинаковой массой $m$. Один атом (налетающий) имеет начальную скорость $v$ и кинетическую энергию $E_{k_{min}} = \frac{1}{2}mv^2$. Второй атом (мишень) покоится.

Запишем законы сохранения импульса и энергии для этого столкновения. Минимальная начальная кинетическая энергия соответствует ситуации, когда после столкновения атомы движутся вместе как единое целое (абсолютно неупругий удар). В этом случае потеря кинетической энергии максимальна и идет на возбуждение одного из атомов.

Пусть $u$ – скорость атомов после столкновения. Закон сохранения импульса:

$mv = (m+m)u = 2mu$

Отсюда находим скорость после столкновения: $u = \frac{v}{2}$.

Закон сохранения энергии с учетом энергии возбуждения $\Delta E$:

$E_{k_{min}} = K_f + \Delta E$,

где $E_{k_{min}} = \frac{1}{2}mv^2$ – начальная кинетическая энергия, а $K_f = \frac{1}{2}(2m)u^2$ – конечная кинетическая энергия системы.

Подставим выражение для $u$ в формулу для конечной кинетической энергии:

$K_f = \frac{1}{2}(2m)(\frac{v}{2})^2 = m\frac{v^2}{4} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}E_{k_{min}}$.

Теперь подставим это в закон сохранения энергии:

$E_{k_{min}} = \frac{1}{2}E_{k_{min}} + \Delta E$.

Решая это уравнение относительно $E_{k_{min}}$, получаем:

$\frac{1}{2}E_{k_{min}} = \Delta E$

$E_{k_{min}} = 2\Delta E$.

Подставим численное значение $\Delta E = 10,2$ эВ:

$E_{k_{min}} = 2 \cdot 10,2 \text{ эВ} = 20,4$ эВ.

Таким образом, минимальная кинетическая энергия налетающего атома, необходимая для возбуждения одного из атомов и последующего излучения фотона, составляет 20,4 эВ.

Ответ: $E_{k_{min}} = 20,4$ эВ.