Номер 1650, страница 301 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Скорость протона до столкновения: $v_1 = 4,0 \cdot 10^4 \frac{м}{с}$

Атом гелия до столкновения покоится: $v_{He1} = 0$

Скорость протона после столкновения: $v_2 = -\frac{v_1}{2}$

Масса протона: $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса атома гелия: $m_{He} \approx 4 m_p \approx 6,68 \cdot 10^{-27}$ кг

Постоянная Планка: $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме: $c \approx 3,00 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$

Найти:

Частоту излучения $ν$

Длину волны излучения $λ$

Решение:

Столкновение протона с атомом гелия является неупругим, так как часть кинетической энергии системы идет на возбуждение атома гелия. Эта энергия возбуждения $\Delta E$ затем излучается в виде фотона при переходе атома в основное состояние. Энергия фотона $E_{ф}$ равна энергии возбуждения $\Delta E$.

1. Найдем энергию возбуждения $\Delta E$ как разность кинетических энергий системы до и после столкновения.

$\Delta E = K_{до} - K_{после}$

Кинетическая энергия системы до столкновения (так как атом гелия покоился):

$K_{до} = \frac{m_p v_1^2}{2}$

Для нахождения кинетической энергии после столкновения $K_{после}$ нам необходимо определить скорость атома гелия $v_{He2}$. Используем закон сохранения импульса. Выберем ось X вдоль начального направления движения протона.

$m_p v_1 = m_p v_2 + m_{He} v_{He2}$

По условию, после столкновения протон движется в обратном направлении со скоростью, модуль которой вдвое меньше начальной, то есть $v_2 = -\frac{v_1}{2}$.

$m_p v_1 = m_p (-\frac{v_1}{2}) + m_{He} v_{He2}$

Выразим скорость атома гелия после столкновения:

$m_{He} v_{He2} = m_p v_1 + \frac{m_p v_1}{2} = \frac{3}{2} m_p v_1$

$v_{He2} = \frac{3 m_p v_1}{2 m_{He}}$

Примем массу атома гелия примерно в 4 раза больше массы протона: $m_{He} \approx 4m_p$.

$v_{He2} = \frac{3 m_p v_1}{2 (4m_p)} = \frac{3}{8} v_1$

Теперь можем найти кинетическую энергию системы после столкновения:

$K_{после} = \frac{m_p v_2^2}{2} + \frac{m_{He} v_{He2}^2}{2} = \frac{m_p (-\frac{v_1}{2})^2}{2} + \frac{m_{He} (\frac{3}{8} v_1)^2}{2}$

$K_{после} = \frac{m_p v_1^2}{8} + \frac{4m_p}{2} \frac{9 v_1^2}{64} = \frac{m_p v_1^2}{8} + \frac{18 m_p v_1^2}{64}$

$K_{после} = \frac{8 m_p v_1^2}{64} + \frac{18 m_p v_1^2}{64} = \frac{26 m_p v_1^2}{64} = \frac{13 m_p v_1^2}{32}$

Найдем энергию возбуждения $\Delta E$:

$\Delta E = K_{до} - K_{после} = \frac{m_p v_1^2}{2} - \frac{13 m_p v_1^2}{32} = \frac{16 m_p v_1^2}{32} - \frac{13 m_p v_1^2}{32} = \frac{3 m_p v_1^2}{32}$

Подставим числовые значения:

$\Delta E = \frac{3 \cdot (1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (4,0 \cdot 10^4 \frac{м}{с})^2}{32} = \frac{3 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 16 \cdot 10^8}{32} \text{ Дж}$

$\Delta E = \frac{3 \cdot 1,67 \cdot 10^{-19}}{2} \text{ Дж} \approx 2,51 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

2. Найдем частоту $ν$ и длину волны $λ$ испущенного фотона.

Энергия фотона $E_{ф}$ равна энергии возбуждения $\Delta E$, и связана с частотой формулой Планка:

$E_{ф} = hν$

Отсюда частота:

$ν = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2,51 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}} \approx 3,78 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Длина волны связана с частотой соотношением $c = λν$.

Отсюда длина волны:

$λ = \frac{c}{ν} = \frac{3,00 \cdot 10^8 \frac{м}{с}}{3,78 \cdot 10^{14} \text{ Гц}} \approx 0,794 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 794 \text{ нм}$

Ответ: частота излучения $ν \approx 3,78 \cdot 10^{14}$ Гц, длина волны $λ \approx 794$ нм.