Номер 1630, страница 298 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R = 3,29 \cdot 10^{15} \text{ с}^{-1}$

$\nu = 2,95 \cdot 10^{15} \text{ Гц}$

$n_1 = 1$ (невозбужденное/основное состояние)

Найти:

$N$

Решение:

Энергия электрона на $n$-м уровне в атоме водорода определяется формулой:

$E_n = -\frac{hR}{n^2}$

Атомы водорода находятся в основном (невозбужденном) состоянии, что соответствует главному квантовому числу $n_1 = 1$. При поглощении фотона электрон переходит на более высокий энергетический уровень $n_2$. Энергия поглощенного фотона равна разности энергий этих уровней, согласно постулатам Бора:

$E_{фотона} = \Delta E = E_{n_2} - E_{n_1}$

Энергия фотона связана с его частотой формулой Планка: $E_{фотона} = h\nu$.

Приравнивая выражения для энергии фотона, получаем:

$h\nu = E_{n_2} - E_{n_1} = (-\frac{hR}{n_2^2}) - (-\frac{hR}{n_1^2}) = hR(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$

Сократив на постоянную Планка $h$ и подставив $n_1=1$, получим:

$\nu = R(1 - \frac{1}{n_2^2})$

Выразим $n_2$ из этой формулы, чтобы найти номер уровня, на который перешел электрон:

$\frac{\nu}{R} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$

$\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{\nu}{R}$

$n_2^2 = \frac{1}{1 - \frac{\nu}{R}} = \frac{R}{R - \nu}$

$n_2 = \sqrt{\frac{R}{R - \nu}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$n_2 = \sqrt{\frac{3,29 \cdot 10^{15}}{3,29 \cdot 10^{15} - 2,95 \cdot 10^{15}}} = \sqrt{\frac{3,29 \cdot 10^{15}}{0,34 \cdot 10^{15}}} = \sqrt{\frac{3,29}{0,34}} \approx \sqrt{9,676} \approx 3,11$

Главное квантовое число $n$ может быть только целым. Полученное значение очень близко к 3. Расхождение, вероятно, связано с округлением исходных данных в условии задачи. Таким образом, мы можем сделать вывод, что электрон переходит на уровень $n_2 = 3$.

После возбуждения электрон возвращается в основное состояние, излучая фотоны. Максимальное число спектральных линий $N$ равно числу всех возможных переходов с возбужденного уровня $n_2$ на все более низкие уровни. Это число можно найти по формуле:

$N = \frac{n_2(n_2 - 1)}{2}$

Подставим значение $n_2 = 3$:

$N = \frac{3(3 - 1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Возможные переходы: с $n=3$ на $n=2$, с $n=3$ на $n=1$, и с $n=2$ на $n=1$. Всего 3 возможных перехода, что соответствует 3 линиям в спектре излучения.

Ответ: 3.