Номер 1623, страница 297 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Атом водорода, находящийся в основном состоянии.

Энергия ионизации водорода $E_{ion} = 13.6$ эВ.

Перевод в систему СИ:

$E_{ion} = 13.6 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 2.18 \times 10^{-18}$ Дж.

Найти:

$E_{min}$ — минимальное значение энергии электронов, при котором может наблюдаться возникновение всех возможных линий в спектре водорода.

Решение:

Спектральные линии в спектре атома водорода возникают при переходах электрона с более высоких энергетических уровней на более низкие. Чтобы могли наблюдаться все возможные спектральные линии, необходимо создать условия, при которых электрон в атоме водорода может совершить переход с любого возбужденного уровня ($n = 2, 3, 4, \dots$) на любой более низкий уровень.

Это становится возможным, если атому сообщить энергию, достаточную для его ионизации, то есть для полного отрыва электрона от ядра. При ионизации электрон становится свободным (его энергия условно принимается за ноль, что соответствует главному квантовому числу $n \to \infty$). Затем свободный электрон может быть захвачен ядром (протоном), переходя на любой из разрешенных энергетических уровней. Последующие каскадные переходы этого электрона на все более низкие уровни будут приводить к излучению фотонов, формирующих все серии спектральных линий водорода (серии Лаймана, Бальмера, Пашена и т.д.).

Энергия электрона на $n$-м стационарном уровне в атоме водорода описывается формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $E_0 \approx 13.6$ эВ — это энергия ионизации атома водорода из основного состояния (также известная как постоянная Ридберга в энергетических единицах).

В невозбужденном (основном) состоянии электрон в атоме водорода находится на первом энергетическом уровне ($n=1$). Его энергия равна:

$E_1 = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{1^2} = -13.6$ эВ.

Минимальная энергия, которую необходимо передать атому для его ионизации, равна разности энергий конечного состояния (свободный электрон, $n \to \infty$, $E_{\infty}=0$) и начального (основное состояние, $n=1$):

$\Delta E = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \text{ эВ}) = 13.6$ эВ.

Эта энергия передается атому водорода при неупругом столкновении с налетающим электроном. Следовательно, минимальная кинетическая энергия $E_{min}$ налетающего электрона должна быть не меньше этой величины.

$E_{min} = \Delta E = 13.6$ эВ.

При такой энергии налетающего электрона атом водорода будет ионизирован, что создаст условия для последующей рекомбинации и излучения фотонов со всеми возможными энергиями, характерными для спектра водорода.

Ответ: Минимальное значение энергии электронов должно быть равно энергии ионизации атома водорода, то есть $13.6$ эВ.